庞加莱群

等距同构是一种事物在事件间的时空轨迹上的移动方式，而这样做是不会影响固有时的。例如，所有事件被延后了两小时，而这两小时中包括了两项事件，以及你从事件一到事件二的路径，那么你的计时器所量度出的，两事件间的时间间距会是一样的。又例如，所有事物被移到西边五公里外的地方，那么你所量度出的时间间距也不会改变。而这种移动的结果是不会影响棍子长度的。

如果我们无视重力效应的话，那么一共有十种移动方式：在时间上的平移，在三维空间中任一维上的平移，在三条空间轴上任一条的（定角）旋转，或三维任一方向上的直线性洛伦兹变换，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。

如果将这种等距同构结合起来（即执行一个之后再执行另一个），那么所得的结果也会是等距同构（然而，这一般来说只限于上述十种基本移动之间的线性组合）。这些等距同构因此形成了一个群。也就是说，它们当中存在单位元（即不移动，停留在原先的地方）及逆元（将事物移动回原先的位置），同时亦遵守结合律。这种特定群的名字叫做“庞加莱群”。

在经典物理学中，对应庞加莱群的群叫伽利略群，也是有十个生成元的，伽利略群作用于绝对时空。而在伽利略群中取代直线性洛伦兹变换的是，联系两个共动惯性参考系的错切变换。

庞加莱群是闵可夫斯基时空的等距同构群。它是一种十维的非紧李群。平移的阿贝尔群是一个正规子群，而洛伦兹群也是一个子群，原点的稳定子群。庞加莱群本身是仿射群（英语：Affine group）的最小子群，而仿射群就包括了所有的变换与洛伦兹变换。准确一点来说，庞加莱群是平移群与洛伦兹群的半直积

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \mathrm {SO} (1,3)\,.}$ 

另一种解释方式是，把庞加莱群视为洛伦兹群的群扩张，而扩张的部分则是它的向量群表示；因此庞加莱群有一个不正式的称呼，叫“非均匀洛伦兹群”（inhomogeneous Lorentz group）。另外，当德西特半径趋向无限大时，德西特群（de Sitter group）${\displaystyle {\text{SO}}(4,1)\sim {\text{Sp}}(2,2)}$ 的群收缩（英语：Group contraction）就是庞加莱群。

它的正能量幺正不可约表示是由质量（非负数）与自旋（整数或半整数）所标记的，并与量子力学的粒子有关。

与爱尔兰根纲领一致，闵可夫斯基空间的几何由庞加莱群所规定的：闵可夫斯基空间可被视为庞加莱群的齐性空间。

庞加莱代数是庞加莱群的李代数。更具体的来说，正式的(${\displaystyle {\text{det}}(\Lambda )=1}$ )，也就是洛伦兹子群（它的单位连通区（英语：Identity component））${\displaystyle {\text{SO}}^{+}(1,3)}$ 的正确时间（${\displaystyle \Lambda _{0}^{0}\geq 1}$ ）部分，是与单位元有关系的，因此可用矩阵指数${\displaystyle \exp(ia_{\mu }P^{\mu })}$ 与${\displaystyle \exp(i\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }/2)}$ 表示。在分量形式中，庞加莱群可用以下的交换关系表示^[4][5]：

${\displaystyle ~[P_{\mu },P_{\nu }]=0\,}$  ${\displaystyle ~{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,}$  ${\displaystyle ~{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,}$

其中P为平移生成元，M为洛伦兹变换生成元，η为闵可夫斯基度规。

以下的是与（均匀）洛伦兹群的交换关系，洛伦兹群由旋转（${\displaystyle J_{i}=-\varepsilon _{imn}M^{mn}/2}$ ）及直线性洛伦兹变换（${\displaystyle K_{i}=M_{i0}}$ ）所组成。在这样的标记下，可以用非协变形式（但较实用）来表示整个庞加莱代数

${\displaystyle [J_{m},P_{n}]=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,}$ 

${\displaystyle [J_{i},P_{0}]=0~,}$ 

${\displaystyle [K_{i},P_{k}]=i\eta _{ik}P_{0}~,}$ 

${\displaystyle [K_{i},P_{0}]=-iP_{i}~,}$ 

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,}$ 

${\displaystyle [J_{m},K_{n}]=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,}$ 

${\displaystyle [K_{m},K_{n}]=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,}$ 

其中最下面的是两个直线性洛伦兹变换的交换关系，很多时候会被称作“维格纳旋转”。注意根据上述关系，${\displaystyle [J_{m}+iK_{m},J_{n}-iK_{n}]=0}$ ，这是一项重要的简化，能使洛伦兹子代数约化至su(2)⊕su(2)，并且使应付洛伦兹群的表示论的方法有效得多。

这种代数的卡西米尔不变量为${\displaystyle P_{\mu }P^{\mu }}$ 与${\displaystyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ，其中${\displaystyle W_{\mu }}$ 为泡利-鲁班斯基假向量（英语：Pauli-Lubanski pseudovector）；它们的作用是标记群表示。

庞加莱群是任何相对论性量子场的完全对称群。因此，所有基本粒子都能成为这个群表示的一部分。这些表示一般是由两种对象所指明的：每一粒子的四维动量平方（即质量平方），和内禀量子数${\displaystyle J^{PC}}$ ，其中J为自旋量子数，P为宇称，C为电荷共轭量子数。实际上许多量子场会破坏宇称与电荷共轭。在那些情况下就会弃用被破坏的P和C。由于每一套量子场论均需拥有CPT不变性，因此要从P和C构建时间反转量子数T是件很容易的事。

作为拓扑空间，这个群共有四个连通区：单位区、时间反转区、空间颠倒区、以及同时出现时间反转与空间颠倒的区。

庞加莱对称是狭义相对论的完全对称，当中包括：

• 在时间与空间中的平移（即位移），P。它们形成了描述时空中的平移的阿贝尔李群。
• 空间中的旋转（它们形成了描述三维旋转的非阿贝尔李群，其生成元为J）
• 直线性洛伦兹变换，即联系两个均匀移动物体的变换，其生成元为K。

上述最后两种对称，J及K，组合起来就成了洛伦兹群（见洛伦兹不变性）。

它们都是一种叫庞加莱群的李群的生成元，而庞加莱群是平移群与洛伦兹群的半直积。在这个群下不变的对象，可被称为拥有庞加莱不变性或相对论性不变性。

• Wu-Ki Tung. Group Theory in Physics. World Scientific Publishing. 1985. ISBN 9971-966-57-3. 
• Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields 1. Cambridge: Cambridge University press. 1995. ISBN 978-0-521-55001-7. 
• L.H. Ryder. Quantum Field Theory 2nd. Cambridge University Press. 1996: 62 [2014-08-05]. ISBN 0-52147-8146. （原始内容存档于2013-10-21）.