交换子

在抽象代数中，一个群的交换子（commutator）或换位子是一个二元运算子。设g及h 是群G中的元素，他们的交换子是g⁻¹ h⁻¹ gh，常记为[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。

群论

群 $G$ 中两个元素 $g$ 和 $h$ 的交换子为元素

[g, h] = g -1 h -1 gh

它等于群的幺元当且仅当 $g$ 和 $h$ 可交换（即 $gh = hg$ ）。

环论

环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：

[a,b]=ab-ba.

量子力学

量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即

[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}

；

其中； ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 均为量子力学的算符， $[{\hat {A}},{\hat {B}}]$ 是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称 ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 是对易的，即意味着 ${\hat {A}}$ 和 ${\hat {B}}$ 两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

量子力学中，交换子有以下特性:

[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]

[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]

[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]

[{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...

[k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]

[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下， ${\hat {x}}$ 是位置算符、 ${\hat {p}}$ 是动量算符、 ${\hat {L}}$ 是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而 $\delta _{ij}$ 是克罗内克δ、 $\epsilon _{ijk}$ 是列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系	更具体的形式
$[{\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=0$	$[{\hat {x}},{\hat {x}}]=0$ 、 $[{\hat {x}},{\hat {y}}]=0$
$[{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0$	$[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{x}]=0$ 、 $[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0$
$[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$	$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar$ 、 $[{\hat {x}},{\hat {p}}_{y}]=0$ 、 $[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]=0$ 、 $[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i\hbar$
$[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}$	$[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}$ 、 $[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}$ 、 $[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}$

正则对易关系

物理学中，正则对易关系是正则共轭的量之间的关系，这样的量从定义可以发现：一个量是其共轭量的傅里叶变换的结果。举例来说：

[x,p]=i\hbar

上面的x与p分别为一维空间中的一点粒子的位置与动量，而 $[x,p]=xp-px$ 为所谓 $x$ 与 $p$ 的交换算符， $i$ 是虚数单位， $\hbar$ 为约化普朗克常数，等于 $h/2\pi$ 。此一关系常归功于马克斯·玻恩，并且此式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理。

与经典力学的关系

相对于量子力学，经典物理中所有可观测量都可对易（交换），而交换算符会是零；然而仍然有类似的关系存在：需将交换子换成泊松括号，且常数 $i\hbar$ 换成 $1$ ：

\{x,p\}=1\,\!

这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设：一般来说，经典的观测量 $f,g$ 其量子对应项 ${\hat {f}},{\hat {g}}$ 应满足

[{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,

。

于1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制，称作魏尔量子化（Weyl quantization），为了一种称作形变量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了数学途径。

延伸阅读

Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, （原始内容存档于2021-07-09）
Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics 2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X
Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975
Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8

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