位置算符

量子力学里,位置算符position operator)是一种量子算符。对应于位置算符的可观察量是粒子的位置。位置算符的本征值是位置向量。采用狄拉克标记,位置算符 的本征态 满足方程

其中, 是本征值,是量子态为 的粒子所处的位置, 只是一个数值。

位置空间表现

设定量子态   。量子态    的位置空间表现,即波函数,分别定义为

 
 

在位置空间里,定义算符  

 

在位置空间里,使用连续本征态   所组成的基底,任意量子态   展开为

 

将量子算符   作用于量子态   ,可以得到

 

应用狄拉克正交归一性  ,这方程与左矢   的内积为

 

量子态   的展开式为

 

应用狄拉克正交归一性,这方程与左矢   的内积为

 

所以,两个波函数    之间的关系为

 

总结,位置算符   作用于量子态   的结果   ,表现于位置空间,等价于波函数    的乘积   。位置算符   的位置空间表现是位算符   ,可以称算符   为位置算符。

本征函数

假设,在位置空间里,位置算符  本征值 本征函数  。用方程表达,[1]

 

这方程的一般解为,

 

其中,  是常数, 狄拉克δ函数

注意到   无法归一化

 

设定   ,函数   满足下述方程:

 

这性质不是普通的正交归一性,这性质称为狄拉克正交归一性。因为这性质,位置算符的本征函数具有完备性,也就是说,任意波函数   都可以表达为本征函数的线性组合

 

虽然本征函数   所代表的量子态是无法实际体现的,并且严格而论,不是一个函数,它可以视为代表一种理想量子态,这种理想量子态具有准确的位置   ,因此,根据不确定性原理,这种理想量子态的动量均匀分布

期望值

采用位置空间表现,设想一个移动于一维空间的量子粒子。在这里,希尔伯特空间是   ,是实值定义域平方可积函数的空间。[2]:11两个态向量的内积是

 

对于任意量子态   ,可观察量   的期望值为

 

位置算符   作用于量子态   的结果,表现于位置空间,等价于波函数    的乘积,所以,

 

粒子处于    微小区间内的概率是

 

粒子位置与概率的乘积在位置空间的积分,就是粒子位置的期望值。

三维案例

推广至三维空间相当直截了当,参数为三维位置   的波函数为   ,位置的期望值[2]:41-42

 

其中,  是积分体积。

位置算符   的作用为

 

对易关系

位置算符与动量算符的对易算符,当作用于波函数时,会得到一个简单的结果:

 

所以,  。这关系称为位置算符与动量算符的对易关系。由于两者的对易关系不等于 0 ,位置与动量彼此是不相容可观察量   绝对不会拥有共同的基底量子态。一般而言,  的本征态与   的本征态不同。

根据不确定性原理

 

由于    是两个不相容可观察量,  。所以,  的不确定性与   的不确定性的乘积   ,必定大于或等于  

参考文献

  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109.  )
  2. ^ 2.0 2.1 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914