位置空间表现
设定量子态 。量子态 、 的位置空间表现,即波函数,分别定义为
- 、
- 。
在位置空间里,定义算符 为
- 。
在位置空间里,使用连续本征态 所组成的基底,任意量子态 展开为
- 。
将量子算符 作用于量子态 ,可以得到
- 。
应用狄拉克正交归一性, ,这方程与左矢 的内积为
- 。
量子态 的展开式为
- 。
应用狄拉克正交归一性,这方程与左矢 的内积为
- 。
所以,两个波函数 、 之间的关系为
- 。
总结,位置算符 作用于量子态 的结果 ,表现于位置空间,等价于波函数 与 的乘积 。位置算符 的位置空间表现是位算符 ,可以称算符 为位置算符。
本征函数
假设,在位置空间里,位置算符 的本征值为 的本征函数是 。用方程表达,[1]
- 。
这方程的一般解为,
- ;
其中, 是常数, 是狄拉克δ函数。
注意到 无法归一化:
- 。
设定 ,函数 满足下述方程:
- 。
这性质不是普通的正交归一性,这性质称为狄拉克正交归一性。因为这性质,位置算符的本征函数具有完备性,也就是说,任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合:
- 。
虽然本征函数 所代表的量子态是无法实际体现的,并且严格而论,不是一个函数,它可以视为代表一种理想量子态,这种理想量子态具有准确的位置 ,因此,根据不确定性原理,这种理想量子态的动量呈均匀分布。
期望值
采用位置空间表现,设想一个移动于一维空间的量子粒子。在这里,希尔伯特空间是 ,是实值定义域的平方可积函数的空间。[2]:11两个态向量的内积是
- 。
对于任意量子态 ,可观察量 的期望值为
- 。
位置算符 作用于量子态 的结果,表现于位置空间,等价于波函数 与 的乘积,所以,
- 。
粒子处于 与 微小区间内的概率是
- 。
粒子位置与概率的乘积在位置空间的积分,就是粒子位置的期望值。
三维案例
推广至三维空间相当直截了当,参数为三维位置 的波函数为 ,位置的期望值为[2]:41-42
- ;
其中, 是积分体积。
位置算符 的作用为
- 。
对易关系
位置算符与动量算符的对易算符,当作用于波函数时,会得到一个简单的结果:
- 。
所以, 。这关系称为位置算符与动量算符的对易关系。由于两者的对易关系不等于 0 ,位置与动量彼此是不相容可观察量。 与 绝对不会拥有共同的基底量子态。一般而言, 的本征态与 的本征态不同。
根据不确定性原理,
- 。
由于 与 是两个不相容可观察量, 。所以, 的不确定性与 的不确定性的乘积 ,必定大于或等于 。
参考文献
- ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109.
- ^ 2.0 2.1 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914