在经典力学里,粒子(或一群粒子)的动力行为是由拉格朗日量 或哈密顿量 决定;其中, 、 分别是广义坐标、广义速度, 是共轭动量, 是时间。
假设拉格朗日量 或哈密顿量 与某广义坐标 无关,则当 有所改变时, 或 仍旧会保持不变,这意味着粒子的动力行为也会保持不变,对应于 的共轭动量 守恒。对于广义坐标 的改变,动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里,当研读有关对称性的课题时,算符是很有用的工具。
特别而言,假设对于某种群 的变换运算,物理系统的哈密顿量是个不变量;也就是说,假设 ,
- 。
在这案例里,所有 的元素 都是物理算符,能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态;尽管 作用于这物理系统,哈密顿量守恒不变。
举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符” 能够将粒子从坐标为 移动至坐标为 ,以方程表示:
- ;
其中, 是描述一群粒子的密度函数。
给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统,则尽管 的作用,这物理系统的哈密顿量 是个不变量,对应于坐标 的动量 守恒。
经典力学算符表格
算符
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标记
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位置
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动量
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平移算符
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时间演化算符
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旋转算符
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伽利略变换算符
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宇称算符
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时间反演算符
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- 是旋转矩阵, 是旋转轴向量, 是旋转角弧。
生成元概念
对于一个微小的平移变换,猜测平移算符的形式为
- ;
其中, 是“单位算符”──变换群的单位元, 是微小参数, 是专门用来设定平移变换群的生成元。
为了简化论述,只考虑一维案例,推导平移于一维空间的生成元。将平移算符 作用于函数 :
- 。
由于 很微小,可以泰勒近似 为
- 。
重写平移算符的方程为
- ;
其中,导数算符 是平移群的生成元。
总结,平移群的生成元是导数算符。
指数映射
在正常状况下,通过指数映射,可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例,重复地做 次微小平移变换 ,来代替一个有限值为 的平移变换 :
- 。
现在,让 变得无穷大,则因子 趋于无穷小:
- 。
这表达式的极限为指数函数:
- 。
核对这结果的正确性,将指数函数泰勒展开为幂级数:
- 。
这方程的右手边可以重写为
- 。
这正是 的泰勒级数,也是 的原本表达式结果。
物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容,请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理(Gelfand-Naimark theorem)。
在量子力学里,算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态向量设定,态向量是向量空间的单位范数向量。在向量空间内,量子算符作用于量子态,使它变换成另一个量子态。由于物体的态向量范数应该保持不变,量子算符必须是厄米算符[来源请求]。假若变换前的量子态与变换后的量子态,除了乘法数值以外,两个量子态相同,则称此量子态为本征态,称此乘法数值为本征值。[1]:11-12
物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量,都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释,每一次测量的结果只能是其中的一个本征值,而且,测得这本征值的机会呈概率性,量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。[2]:106-109
量子算符
假设,物理量 是某量子系统的可观察量,其对应的量子算符 可能有很多不同的本征值 与对应的本征态 ,这些本征态 ,形成了具有正交归一性的基底:[2]:96-99
- ;
其中, 是克罗内克函数。
假设,某量子系统的量子态为
- ;
其中, 是复系数,是在 里找到 的概率幅。[1]:50
测量这动作将量子态 改变为本征态 的概率为 ,测量结果是本征值 的概率也为 。
期望值
在量子力学里,重复地做同样实验,通常会得到不同的测量结果,期望值是理论平均值,可以用来预测测量结果的统计平均值。
采用狄拉克标记,对于量子系统的量子态 ,可观察量 的期望值 定义为[1]:24-25
- ;
其中, 是对应于可观察量 的算符。
将算符 作用于量子态 ,会形成新量子态 :
- 。
从左边乘以量子态 ,经过一番运算,可以得到
- 。
所以,每一个本征值与其概率的乘积,所有乘积的代数和,就是可观察量 的期望值:
- 。
将上述定义式加以推广,就可以用来计算任意函数 的期望值:
- 。
例如, 可以是 ,即重复施加算符 两次:
- 。
对易算符
主条目:对易算符
假设两种可观察量 、 的算符分别为 、 ,它们的对易算符定义为
- 。
对易算符是由两种算符组合而成的复合算符,当作用于量子态 时,会给出
- 。
假设 ,则称这两种可观察量为“相容可观察量”,否则, ,称这两种可观察量为“不相容可观察量”。
假设两种可观察量为不相容可观察量,则由于不确定原理,绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题,不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验,装备足够优良的测量仪器,则对于某些量子系统,测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。[3]
厄米算符
每一种经过测量而得到的物理量都是实值,因此,可观察量 的期望值是实值:
- 。
对于任意量子态 ,这关系都成立:
- 。
根据伴随算符的定义,假设 是 的伴随算符,则 。因此,
- 。
这正是厄米算符的定义。所以,表现可观察量的算符,都是厄米算符。[2]:96-99
矩阵力学
应用基底的完备性,添加单位算符 于算符 的两旁,可以得到[1]:20-23
- ;
其中, 是求和式内每一个项目的系数。
所以,量子算符可以用矩阵形式来代表:
- 。
算符 与它的伴随算符 彼此之间的关系为
- 。
所以,分别代表这两个算符的两个矩阵,彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符,代表的矩阵是个实值的对称矩阵。
用矩阵代数来计算算符 怎样作用于量子态 ,假设系统因此变换为量子态 :
- 。
从左边乘以本征态 ,应用基底的完备性,添加单位算符 于算符的右边,可以得到
- 。
右矢 、 分别用竖矩阵来代表
- 、 。
两个竖矩阵彼此之间的关系为
- 。
假设算符 是厄米算符,则其所有本征态都相互正交。[4]以矩阵来代表算符,可以计算出一组本征值与对应的本征态,每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质,可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式,就可以找到本征值 :
- 。
量子算符表格
在这表格里,算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间,则表示出的方程会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符,不是单位向量。
算符名称
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直角坐标系分量表示
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向量表示
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位置算符
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动量算符
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一般状况
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一般状况
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电磁场
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电磁场( 是磁矢势)
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动能算符
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平移运动
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平移运动
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电磁场
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电磁场( 是磁矢势)
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旋转运动( 是转动惯量)
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旋转运动
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势能算符
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N/A
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总能量算符
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N/A
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含时位势:
不含时位势:
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哈密顿算符
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N/A
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角动量算符
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自旋算符
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其中,
是自旋1/2粒子的泡利矩阵。
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其中,向量 的分量是泡利矩阵。
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总角动量算符
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跃迁矩(电) (transition moment)
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范例
位置算符
只思考一维问题,将位置算符 施加于位置本征态 ,可以得到本征值 ,即粒子的位置:[5]:220-221
- 。
由于位置基底具有完整性, ,任意量子态 可以按着位置本征态形成的基底展开:
- 。
将位置算符 施加于量子态 ,由于算符 只作用于右矢 ,与其它数学个体无关,可以移入积分式内:
- 。
左矢 与这方程的内积为
- 。
设定量子态 。由于位置基底具有完整性, ,量子态 与 的内积,可以按着位置本征态形成的基底展开为
- 。
将这两个积分式加以比较,立刻可以辨识出全等式
- 。
设定量子态 。量子态 、 的位置空间表现,即波函数,分别定义为
- 、
- 。
两个波函数 、 之间的关系为
- 。
总结,位置算符 作用于量子态 的结果 ,表现于位置空间,等价于波函数 与 的乘积 。
动量算符
表现于位置空间,一维动量算符为
- 。
将动量算符 施加于量子态 ,可以得到类似前一节得到的结果:
- 。
应用位置基底所具有的完整性,对于任意量子态 ,可以得到更广义的结果:
- ;
其中, 、 分别是量子态 、 表现于位置空间的波函数。
假设 是 的本征态,本征值为 ,则可得到
- 。
将 改写为本征值为 的本征态 ,方程改写为
- 。
这微分方程的解析解为
- 。
所以,动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛定谔方程,就可以推导求得这出结果。[1]:50-54