哈密顿算符

量子力学中，哈密顿算符（英语：Hamiltonian，缩写符号：H或${\displaystyle {\hat {H}}}$） 为一个可观测量，对应于系统的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能是所有可能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度（spectral measure）被分解，成为纯点（pure point）、绝对连续（absolutely continuous）、奇点（singular）三种部分。纯点谱与本征向量相应，而后者又对应到系统的束缚态（bound states）。绝对连续谱则对应到自由态（free states）。奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说，考虑有限深方形阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有连续正能量的自由态。

哈密顿算符产生了量子态的时间演化。若 ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ 为在时间 t 的系统状态，

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =\mathrm {i} \hbar {d \over dt}\left|\psi (t)\right\rangle }$ 。

其中 ${\displaystyle \hbar }$ 为约化普朗克常数。此方程为薛定谔方程。（其与哈密顿-雅可比方程具有相同形式，也因为此，H 冠有哈密顿之名。）若给定系统在某一初始时间（t = 0）的状态，我们可以积分得到接下来任何时间的系统状态。其中特别的是，若 H 与时间无关，则

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left(-{\mathrm {i} Ht \over \hbar }\right)\left|\psi (0)\right\rangle }$ 。