动量算符

量子力学里,动量算符(英语:momentum operator)是一种算符,可以用来计算一个或多个粒子的动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子,作用于波函数 的动量算符可以写为

其中, 是动量算符,约化普朗克常数虚数单位 是位置。

给予一个粒子的波函数 ,这粒子的动量期望值

其中, 是动量。

导引 1

对于一个非相对论性的自由粒子,位势  不含时薛定谔方程表达为

 

其中, 约化普朗克常数  是粒子的质量  是粒子的波函数  是粒子的位置,  是粒子的能量

这薛定谔方程的解答   是一个平面波

 

其中, 波数 

根据德布罗意假说,自由粒子所表现的物质波,其波数与自由粒子动量的关系是

 

自由粒子具有明确的动量   ,给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的量子态都一样。标记粒子的动量算符为   。假若,对于这系综内,每一个自由粒子系统的动量所作的测量,都得到同样的测量值   ,那么,不确定性   ,这自由粒子的量子态是确定态,是  本征态,在位置空间(position space)里,本征函数 本征值 

 

换句话说,在位置空间里,动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数   [1]

为了要达到此目标,势必要令

 

所以,可以认定动量算符的形式为

 

导引 2

经典力学里,动量是质量乘以速度:

 

在量子力学里,由于粒子的位置不是明确的,而是概率性的。所以,猜想这句话是以期望值的方式来实现[2]

 

那么,用积分方程来表达,

 

其中, 波函数

取微分于积分号下,

 

由于   只是一个位置的统计参数,不跟时间有关,

 (1)

含时薛定谔方程

 

其中,   是位势。

共轭复数

 

将上述两个方程代入方程 (1),可以得到

 

使用分部积分法,并利用当x趋于无穷大时波函数 趋于零的特性,有

 (2)
 (3)

方程 (2) 与 (3) 的减差(使用分部积分法,并利用当x趋于无穷大时波函数 趋于零的特性)

 

所以,

 

对于任意波函数   ,这方程都成立。因此,可以认定动量算符   

厄米算符

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以,可观察量   的期望值是实值的:

 

对于任意量子态   ,这关系都成立:

 

根据伴随算符的定义,假设    的伴随算符,则   。因此,

 

这正是厄米算符的定义。所以,表示可观察量的算符   ,都是厄米算符。

动量是一个可观察量,动量算符应该也是厄米算符:选择位置空间,量子态   的波函数为  

 

对于任意量子态    。所以,动量算符确实是一个厄米算符。

本征值与本征函数

假设,动量算符  本征值 本征函数 

 

这方程的一般解为,

 

其中,  是常数。

假设   的定义域是一个有限空间,从    ,那么,可以将   归一化

 

  的值是   。动量算符的本征函数归一化为  

假设   的定义域是无穷大空间,则   不是一个平方可积函数

 

动量算符的本征函数不存在于希尔伯特空间内,不能直接地积分   于无穷大空间,来使   归一化。

换另一种方法,设定   。那么,

 

其中, 狄拉克δ函数

这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质,动量算符的本征函数是完备的。也就是说,任意波函数   都可以表达为本征函数的线性组合:

 

其中,系数  

 

正则对易关系

位置算符与动量算符的交换算符,当作用于一个波函数时,有一个简单的结果:

 

所以,  。这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等于 0 ,位置与动量彼此是不相容可观察量   绝对不会有共同的基底量子态。一般而言,  的本征态与   的本征态不同。

根据不确定性原理

 

由于    是两个不相容可观察量,  。所以,  的不确定性与   的不确定性的乘积   ,必定大于或等于  

参考文献

  1. ^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 978-0393091069 (英语) 
  2. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7