小群列表

下面的数学列表包含着以群同构来分之小阶有限群。

这个列表可以被用来决定一个给定的有限群G会同构于哪一种群：首先确定G的阶，然后再找下面列表中有相同阶的候选群。若知道G为可换与否，某些的候选群便可以立刻被删掉。为了分别剩下的候选群，可以看给定之群内每个元素的阶，并对照候选群内每个元素的阶。

术语

  • Zn：其阶为n之循环群(通常Cn或Z/nZ之符号也会被使用)。
  • Dihn：其阶为2n的二面体群(通常Dn之符号也会被使用，有时则会用D2n)。
  • Sn：n阶的对称群，包含有n!个n个元素的置换。
  • An：n阶的交错群，包含有n!/2个n个元素的偶置换。
  • Dicn：其阶为4n的双循环群。

Zn和Dihn之符号在三维点群Cn和Dn中有着没有相同符号的优点。其存在着多于此两类的等距同构群，但这些都有着相同的抽象群类型。

符号G × H表示是两个群的直积。阿贝尔群和简单群会加上注释(对小于60阶之群，简单群会恰好是循环群Zn，其中的n为质数。)下面会以等号(=)来标注同构。

环图内的单位元素会以黑圆圈来表示。图环不能唯一地表示一个群之最小阶为16。

下面列表中的子群，当然群和群自身并不会被列出来。

小非可换群的列表

另见小阿贝尔群列表和下面合并的列表。

注意如“3×Z2”之标记表示其有3个Z2类型的子群(而不是Z2的一个左陪集)，而其他地方里的×则表示直积。

阶 群 子群 性质 环图
6 S3 = Dih3 Z3 , 3 × Z2 最小的非可换群
 
8 Dih4 Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2 非可换
 
四元群, Q8 = Dic2 3 × Z4 , Z2 非可换；最小的汉弥尔顿群
 
10 Dih5 Z5 , 5 × Z2 非可换
 
12 Dih6 = Dih3 × Z2 Z6 , 2 × Dih3 , 3 × Dih2 , Z3 , 7 × Z2非可换
 
A4 Z22, 4 × Z3, 3 × Z2 非可换；最小确定拉格朗日定理之相反叙述不是对的群：没有6阶的子群
 
Dic3 = Z3和Z4的半直积，其中Z4以反演作用于Z3上 Z2, Z3, 3 × Z4, Z6 非可换
 
14 Dih7 Z7 , 7 × Z2 非可换
 
16 Dih8 Z8 , 2 × Dih4 , 4 × Dih2 , Z4 , 9 × Z2 非可换
 
Dih4 × Z2 2 × Dih4 , Z4 × Z2 , 2 × Z23, 7 × Z22 , 2 × Z4 , 11 × Z2 非可换
 
广义四元群, Q16 = Dic4   非可换
 
Q8 × Z2   非可换、汉弥尔顿群
 
wrong
16阶之拟二面体群   非可换
 
16阶之模群   非可换
 
Z4和Z4的半直和，其中一个以反演作用在另一个上   非可换
 
由泡利矩阵产生的群   非可换
 
G4,4   非可换
 

合并列表

阶 群 子群 性质 环图
1 平凡群 = Z1 = S1 = A2 - 平凡、循环、交错、对称、初等
 
2 Z2 = S2 = Dih1 - 可换、简单、最小非当然群
 
3 Z3 = A3 - 可换、简单
 
4 Z4 Z2 可换
 
克莱因四元群 = Z2 × Z2 = Dih2 3 × Z2 可换、最小非循环群
 
5 Z5 - 可换、简单
 
6 Z6 = Z2 × Z3 Z2 , Z3 可换
 
S3 = Dih3 Z3 , 3 × Z2 最小非可换群
 
7 Z7 - 可换、简单
 
8 Z8 Z4 , Z2 可换
 
Z2 ×Z4 2 × Z4 , 3 ×Z2 , Dih2 可换
 
Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 7 × Z2 × Z2 , 7 × Z2 可换
 
Dih4 Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2 非可换
 
四元群, Q8 = Dic2 3 × Z4 , Z2 非可换、最小汉弥尔顿群
 
9 Z9 Z3 可换
 
Z3 × Z3 4 × Z3 可换
 
10 Z10 = Z2 × Z5 Z5 , Z2 可换
 
Dih5 Z5 , 5 × Z2 非可换
 
11 Z11 - 可换、简单
 
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2 可换
 
Z2 × Z6 = Z2 × Z2 × Z3 = Dih2 × Z3 3 × Z6, Z3, Dih2, 3 × Z2可换
 
Dih6 = Dih3 × Z2 Z6 , 2 × Dih3 , 3 × Dih2 , Z3 , 7 × Z2非可换
 
A4 Z22, 4 × Z3, 3 × Z2 非可换；最小确定拉格朗日定理之相反叙述不是对的群：没有6阶的子群
 
Dic3 = Z3和Z4的半直积，其中Z4以反演作用于Z3上 Z2, Z3, 3 × Z4, Z6 非可换
 
13 Z13 - 可换、简单
 
14 Z14 = Z2 × Z7 Z7 , Z2 可换
 
Dih7 Z7 , 7 × Z2 非可换
 
15 Z15 = Z3 × Z5 Z5 , Z3 可换
 
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2 可换
 
Z24 15 × Z2, 35 × Dih2, 15 × Z23 可换
 
Z4 × Z227 × Z2, 4 × Z4, 7 × Dih2, Z23, 6 × Z4 × Z2 可换
 
Z8 × Z2 3 × Z2, 2 × Z4, Dih2, 2 × Z8, Z4 × Z2 可换
 
Z42 3 × Z2, 6 × Z4, Dih2, 3 × Z4 × Z2 可换
 
Dih8 Z8 , 2 × Dih4 , 4 × Dih2 , Z4 , 9 × Z2 非可换
 
Dih4 × Z2 2 × Dih4 , Z4 × Z2 , 2 × Z23, 7 × Z22 , 2 × Z4 , 11 × Z2 非可换
 
广义四元群, Q16 = Dic4   非可换
 
Q8 × Z2   非可换、汉弥尔顿群
 
wrong
16阶之拟二面体群   非可换
 
16阶之模群   非可换
 
Z4和Z4的半直和，其中一个以反演作用在另一个上   非可换
 
由泡利矩阵产生的群   非可换
 
G4,4   非可换
 

小群图书馆

群论电脑代数系统GAP包含着描述了“小”阶之群的“小群图书馆”。这些群以同构为分列出。现在，这个图书馆已包含了下列个群：

  • 至多2000阶的群，除了1024阶的(423 164 062个群)；
  • 55阶和74阶的群(92个群)；
  • qn×p阶的群，其中qn整除28、36、55或74且p为不同于q的任意质数；
  • 因式分解成至多3个质数的群。

它包含着上述的群以电脑上可读形式显示之详尽描述。

这个图书馆由Hans Ulrich Besche、Bettina Eick和Eamonn O'Brien所建构及准备；见http://www.tu-bs.de/~hubesche/small.html。[永久失效链接]

另见

  • 小拉丁方阵和拟群

外部链接