巴拿赫-阿劳格鲁定理

纳里奇（Narici）与贝肯斯坦（Beckenstein）书中，称阿劳格鲁定理为“非常重要的结果——也许是关于弱*拓扑唯一（the）最重要的事——回响传遍泛函分析。”^[2]1912年，赫利（Helly）证明，闭区间上连续函数的空间${\displaystyle C([a,b])}$ ，其连续对偶空间的单位球，为弱*可数紧（英语：countably compact）。^[3]1932年，斯特凡·巴拿赫证明，任何可分赋范向量空间的连续对偶中，闭单位球必为弱*序列紧（他仅考虑了序列紧）。^[3] 一般情况的证明，是由列奥尼达·阿劳格鲁（英语：Leonidas Alaoglu）于1940年发表。纳里奇与贝肯斯坦书中，引述Pietsch [2007]指，至少有12个数学家可以主张自己证明此定理或某个重要前身。^[2]

布尔巴基-阿劳格鲁定理（英语：Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布尔巴基将原定理推广^[4][5]到局部凸空间（英语：locally convex space）的对偶拓扑（英语：dual topology）的结果。此定理亦称为巴拿赫-阿劳格鲁定理或弱*紧定理（英语：weak-* compactness theorem），也常简称为阿劳格鲁定理（英语：Alaoglu theorem）。^[2]

一般叙述

对于域${\displaystyle \mathbb {K} }$ 上的向量空间${\displaystyle X}$ ，以${\displaystyle X^{\#}}$ 表示其代数对偶（所有线性泛函组成的空间）。两者由双线性求值映射${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }$ 所联系，该映射由

${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle :=f(x)}$ 

定义。所以，三元组${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ （两个空间及一个映射）组成对偶系（英语：dual system），称为典范对偶系。

若${\displaystyle X}$ 进一步具有拓扑，即为拓扑向量空间（TVS），则可分辨其上的函数连续与否，并定义其连续对偶${\displaystyle X^{\prime }}$ 为代数对偶${\displaystyle X^{\#}}$ 中，连续泛函组成的子集。以${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 表示${\displaystyle X^{\#}}$ 上的弱*拓扑。类似有${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 是${\displaystyle X^{\prime }}$ 上的弱*拓扑。

弱*拓扑又称逐点收敛拓扑，因为给定映射${\displaystyle f}$ 和一网映射${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ，网${\displaystyle f_{\bullet }}$ 在弱*拓扑中收敛至${\displaystyle f}$ ，当且仅当对定义域中每点${\displaystyle x}$ ，函数值组成的网${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}$ 收敛到${\displaystyle f(x)}$ 。

阿劳格鲁定理^[3]

设${\displaystyle X}$ 为任意拓扑向量空间（无需豪斯多夫或局部凸（英语：locally convex）），${\displaystyle X^{\prime }}$ 为其连续对偶，则对于${\displaystyle X}$ 中原点的任何邻域${\displaystyle U}$ （${\displaystyle 0\in U\subseteq X}$ ），其极集（英语：Polar set）

${\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',}$ 

在${\displaystyle X^{\prime }}$ 上的弱*拓扑（英语：weak topology）^{[注 1]}${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 中，必为紧集。

此外，${\displaystyle U^{\circ }}$ 亦是${\displaystyle U}$ 相对于典范对偶系${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ 的极集，在拓扑空间${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 同样为紧。

赋范特例

若${\displaystyle X}$ 为赋范向量空间，则原点邻域的极集，在对偶空间中为闭，且其范数有上界。特别地，若${\displaystyle U}$ 为${\displaystyle X}$ 的开（或闭）单位球，则${\displaystyle U}$ 的极集为连续对偶空间${\displaystyle X^{\prime }}$ 的闭单位球（对偶空间配备平常的对偶范数）。此时，定理化为以下特例：

巴拿赫-阿劳格鲁定理

若${\displaystyle X}$ 为赋范空间，则连续对偶空间${\displaystyle X^{\prime }}$ 中，算子范数的闭单位球，为弱*拓扑中的紧集。

当${\displaystyle X}$ 的连续对偶${\displaystyle X^{\prime }}$ 是无穷维赋范空间时，${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的闭单位球，不可能是平常范数拓扑的紧集。原因是，范数拓扑的闭单位球为紧，当且仅当空间为有限维（见F·里斯定理（英语：F. Riesz theorem））。此定理显示出，在同一个向量空间上，考虑不同的拓扑，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿劳格鲁定理并不推出弱*拓扑为局部紧，因为仅知闭单位球在强拓扑（英语：strong topology）中为原点的邻域，在弱*拓扑中则不一定。弱*拓扑中，单位球的内部可能为空，除非空间为有限维。实际上，韦伊证明，局部紧的豪斯多夫拓扑向量空间必为有限维。

对偶理论证明

记${\displaystyle X}$ 的基域为${\displaystyle \mathbb {K} }$ ，此处为实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。证明会用到极集（英语：polar set）、对偶系（英语：dual system）、连续线性算子的基本性质，可参见该些条目，以下亦会简单提及。

先列举一些常见定义和性质。当代数对偶${\displaystyle X^{\#}}$ 配备弱*拓扑${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 时，为一个豪斯多夫局部凸（英语：Locally convex topological vector space）拓扑向量空间，记为${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 。空间${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 总是完备（英语：Complete topological vector space），但连续对偶${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ 则不一定，此即证明需牵涉${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 的原因。具体而言，本证明用到的性质是：完备豪斯多夫空间的子集为紧，当且仅当其为闭，且完全有界（英语：Totally bounded space）。注意${\displaystyle X^{\prime }}$ 从${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 继承的子空间拓扑，等于弱*拓扑${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 。为验证此事，只需检查对每个${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ，${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的网在其中一个拓扑中收敛到${\displaystyle x^{\prime }}$ ，当且仅当在另一个拓扑中亦然（因为两个拓扑结构相等，当且仅当其具有的收敛网完全一样）。

三元组${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ 也是对偶对（英语：dual system）（有双线性映射${\displaystyle (x,f)\mapsto f(x)}$ ），但与${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ 不同，前者一般而言未必是对偶系。以下定义极集时，会注明是对于何种对偶而言。

设${\displaystyle U}$ 为${\displaystyle X}$ 原点的邻域，又设：

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ 为${\displaystyle U}$ 相对${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ 的极集；
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}$ 为${\displaystyle U}$ 相对${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ 的二重极集（英语：Polar set）；
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ 为${\displaystyle U}$ 相对${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ 的极集。

极集的基本性质有${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }}$ 。

下证巴拿赫-阿劳格鲁定理，分若干步：

1. 先证${\displaystyle U^{\#}}$ 在拓扑${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 中为${\displaystyle X^{\#}}$ 的闭子集：设${\displaystyle f\in X^{\#}}$ ，又假设${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ 为${\displaystyle U^{\#}}$ 中的网，在${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 中收敛到${\displaystyle f}$ 。欲证${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ，即${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ 对任意${\displaystyle u\in U}$ 皆成立。因为在标量域${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中，${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$ ，而每个值${\displaystyle f_{i}(u)}$ 皆属于（${\displaystyle \mathbb {K} }$ 的）闭子集${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}}$ ，故网的极限${\displaystyle f(u)}$ 亦必在该子集中。于是${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ 。
2. 其次，欲证${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$ ，以推出${\displaystyle U^{\circ }}$ 既是${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 的闭子集，亦是${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ 的闭子集：有包含关系${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$ ，因为连续线性泛函尤其是线性泛函。反之，欲证${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ }}$ ，设${\displaystyle f\in U^{\#}}$ 满足${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ，换言之线性泛函${\displaystyle f}$ 在邻域${\displaystyle U}$ 上有界，而泛函有界等价于连续，故${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ，从而${\displaystyle f\in U^{\circ }}$ ，即所求证。用第1步，结合交集${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$ 在${\displaystyle X^{\prime }}$ 的子空间拓扑中为闭，推得${\displaystyle U^{\circ }}$ 为闭。
3. 欲证${\displaystyle U^{\circ }}$ 对${\displaystyle X^{\prime }}$ 的${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 拓扑而言是完全有界（英语：Totally bounded space）子集：由二重极集定理（英语：bipolar theorem），${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$ ，又因为邻域${\displaystyle U}$ 为${\displaystyle X}$ 中的吸收集，${\displaystyle U^{\circ \circ }}$ 亦同。可以证明，此结论推出${\displaystyle U^{\circ }}$ 是${\displaystyle X^{\prime }}$ 对${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 而言的有界子集（英语：Bounded set (topological vector space)）。由于${\displaystyle X}$ 分辨（英语：dual system）${\displaystyle X^{\prime }}$ 各点，${\displaystyle X^{\prime }}$ 的子集在${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 意义下有界，当且仅当在同样意义下完全有界（英语：Totally bounded space）。所以，尤其有${\displaystyle U^{\circ }}$ 在${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 意义下完全有界。
4. 欲证${\displaystyle U^{\circ }}$ 亦为${\displaystyle X^{\#}}$ 在${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 拓扑下的完全有界子集：已知${\displaystyle X^{\prime }}$ 上，${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 拓扑等于${\displaystyle X^{\prime }}$ 从${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 继承的子空间拓扑，结合第3步与“完全有界”的定义，即推出${\displaystyle U^{\circ }}$ 为${\displaystyle X^{\#}}$ 在${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 拓扑下的完全有界子集。
5. 最后，欲证${\displaystyle U^{\circ }}$ 为${\displaystyle X^{\prime }}$ 在${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 拓扑下的紧子集：因为${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 为完备拓扑向量空间（英语：Complete topological vector space），又${\displaystyle U^{\circ }}$ 为其闭（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以${\displaystyle U^{\circ }}$ 为紧。定理证毕。

较初等的证明

以下证明，仅用到集合论、点集拓扑、泛函分析的基本概念。拓扑方面，需要熟悉使用拓扑空间中的网、积拓扑、两者与逐点收敛的关联（为方便起见，证明中也会给出部分细节）。同时也要了解，线性泛函为连续，当且仅当其在原点的某个邻域上有界（见次线性泛函（英语：sublinear functional））。

设向量空间${\displaystyle X}$ 的基域为${\displaystyle \mathbb {K} }$ ，为实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或复数系${\displaystyle \mathbb {C} }$ 两者之一。对任意实数${\displaystyle r}$ ，以

${\displaystyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$ 

表示以原点为球心，半径为${\displaystyle r}$ 的闭球。在${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中，此为紧的闭集。

极集的等价表示

由于${\displaystyle U}$ 是${\displaystyle X}$ 中原点的邻域，可知${\displaystyle U}$ 亦是${\displaystyle X}$ 的吸收集，即对每个${\displaystyle x\in X}$ ，皆有正实数${\displaystyle r_{x}>0}$ 使${\displaystyle x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}}$ 。以

${\displaystyle U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ 

表示${\displaystyle U}$ 相对典范对偶系${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ 的极集。将证明，此极集${\displaystyle U^{\#}}$ ，与定理提到，${\displaystyle U}$ 相对${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ 的极集${\displaystyle U^{\circ }}$ ，两者相等。

${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$ 成立，是因为连续线性泛函按定义必是线性泛函。反之，欲证${\displaystyle U^{\#}\subseteq U^{\circ }}$ ，设${\displaystyle f\in U^{\#}}$ 满足${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ，即线性泛函${\displaystyle f}$ 在邻域${\displaystyle U}$ 上有界。所以${\displaystyle f}$ 是连续线性算子（换言之${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ），从而有${\displaystyle f\in U^{\circ }}$ ，即所求证。

至此，已证明${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}$ ^{[注 2]}，余下的证明中，需理解笛卡儿积${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ 与所有${\displaystyle X\to \mathbb {K} }$ 的映射构成的空间${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 等同。仍需证明以下两个命题：

1. ${\displaystyle U^{\circ }}$ 为${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 的闭子集。
   • 此处${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ 配备的是逐点收敛拓扑，等同于积拓扑。
2. ${\displaystyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$ 
   • 其中${\displaystyle B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K} }$ 表示以原点${\displaystyle 0}$ 为球心，${\displaystyle r_{x}}$ 为半径的闭球。本证明开始时，对每个${\displaystyle x\in X}$ ， 已定义${\displaystyle r_{x}}$ 为使${\displaystyle x\in r_{x}U}$ 的任意一个实数${\displaystyle r_{x}>0}$ 。特别地，对于${\displaystyle u\in U}$ ，可以选${\displaystyle r_{u}:=1}$ 。

以上命题推出，${\displaystyle U^{\circ }}$ 为${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ 的闭子集，而由吉洪诺夫定理，该积空间为紧^{[注 3]}（因为每个闭球${\displaystyle B_{r_{x}}}$ 皆为紧）。因为紧空间的闭子集仍为紧，所以有${\displaystyle U^{\circ }}$ 为紧集，从而证毕巴拿赫-阿劳格鲁定理的主要结论。

极集为闭

以下证明前述命题1。代数对偶${\displaystyle X^{\#}}$ 总是积空间${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$  的闭子集^{[注 4]}。要证明${\displaystyle U^{\circ }}$ 在${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 中为闭，祇需证明集合

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ 

是${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 的闭子集，因为若有此结论，则${\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }}$ 是${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 中两闭集之交，故亦为闭集。

设${\displaystyle f\in \mathbb {K} ^{X}}$ ，又设${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ 为${\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }}$ 中的网，在${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 中收敛到${\displaystyle f}$ 。需要证明${\displaystyle f\in {\widetilde {U}}^{\circ }}$ 。换言之，要证对每个${\displaystyle u\in U}$ ，${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ （或等价写成${\displaystyle f(u)\in B_{1}}$ ）。由于在标量域${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中，${\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}$ ，且每项${\displaystyle f_{i}(u)}$ 皆属于${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中的闭子集${\displaystyle B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}}$ ，此网的极限${\displaystyle f(u)}$ 亦必属于该闭集，即${\displaystyle f(u)\in B_{1}}$ 。证毕命题1。

上述证明可以推广，以论证以下命题：

设${\displaystyle U\subseteq X}$ 为任意集合，${\displaystyle B\subseteq Y}$ 为拓扑空间${\displaystyle Y}$ 的闭子集，则在${\displaystyle Y^{X}}$ 的逐点收敛拓扑中，${\displaystyle P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}}$ 为闭子集。

命题1为其特殊情况，取${\displaystyle Y:=\mathbb {K} }$ 和${\displaystyle B:=B_{1}}$ 便得。

极集包含于紧空间之积

以下证明前述命题2。对任意${\displaystyle z\in X}$ ，以${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$ 表示到第${\displaystyle z}$ 个坐标的投影（英语：Projection (set theory)）。欲证${\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ 。换言之，欲对每个${\displaystyle x\in X}$ ，证明${\displaystyle \Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}}$ 。

于是选定${\displaystyle x\in X}$ ，设${\displaystyle f\in U^{\circ }}$ ；要证${\displaystyle \Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}}$ 。由${\displaystyle r_{x}}$ 的定义，${\displaystyle x\in r_{x}U}$ ，故${\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U}$ 。因为${\displaystyle f\in U^{\circ }=U^{\#}}$ ，线性泛函${\displaystyle f}$ 满足${\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ，所以由${\displaystyle u_{x}\in U}$ ，可知

${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}$ 

所以${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x}}$ ，即${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}}$ ，证毕命题2。

巴拿赫-阿劳格鲁定理有个特殊情况，对可分空间使用，并将“紧”换成“序列紧”。此时定理断言：

可分赋范向量空间的对偶中，闭单位球在弱*拓扑下是序列紧。

可度量

实际上，可分空间的对偶的闭单位球上，弱*拓扑可度量，故紧与序列紧等价。

明确而言，设${\displaystyle X}$ 为可分赋范向量空间，而${\displaystyle B}$ 为连续对偶${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的闭单位球。根据${\displaystyle X}$ 可分的定义，有某个可数稠密子集，列举为${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ 。则下式定义一个度量：对于${\displaystyle x,y\in B}$ ，

${\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}}$ 

其中${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ 表示${\displaystyle X^{\prime }}$ 与${\displaystyle X}$ 的对偶匹配，即将后一个元素代入到前一个元素求值。此度量下，${\displaystyle B}$ 为序列紧之事，用类似阿尔泽拉-阿斯科利定理的对角线证法，即可证明。

由于证明本质为构造性（而非如一般情况，用到非构造性的选择公理），在偏微分方程学中，有时使用序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，构造偏微分方程或变分问题的解。举例，若有某个可分赋范空间${\displaystyle X}$ ，其对偶上有泛函${\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ，欲求最小值，则常见策略是先构造序列${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}$ ，使${\displaystyle F}$ 的泛函值趋向下确界，然后诉诸序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，取出子序列${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}$ ，在弱*拓扑下收敛到极限${\displaystyle x}$ ，并确定${\displaystyle x}$ 使${\displaystyle F}$ 取最小值。最后一步通常要求${\displaystyle F}$ 在弱*拓扑下为（序列）下半连续。

考虑另一个例子，设${\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}$ 为实轴上，在无穷远处消失的连续函数组成的空间，则由里斯-马可夫表示定理，${\displaystyle X^{\prime }}$ 为实轴上全体有限拉东测度的空间。此时序列巴拿赫-阿劳格鲁定理等价于赫利选择定理（英语：Helly selection theorem）。

证明

下证序列版本的巴拿赫-阿劳格鲁定理。

对每个${\displaystyle x\in X}$ ，设

${\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},}$ 

以及

${\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}.}$ 

因为${\displaystyle D_{x}}$ 是复平面的紧子集，${\displaystyle D}$ 在积拓扑中亦为紧（根据吉洪诺夫定理）。

${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的闭单位球${\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)}$ ，可以自然地看成${\displaystyle D}$ 的子空间：考虑映射

${\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,}$ 

其为单射，且对于${\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)}$ 的弱*拓扑和${\displaystyle D}$ 的积拓扑而言，是连续映射。在像集上，映射的逆也连续。

欲完成定理的证明，只需证明映射的像为闭集。给定网${\displaystyle D}$ 中的网

${\displaystyle \left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},}$ 

等式${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}}$ 定义的泛函${\displaystyle g}$ ，也在${\displaystyle B_{1}(X^{\prime })}$ 中。定理证毕。

赋范空间

假设${\displaystyle X}$ 为赋范空间，则其连续对偶空间${\displaystyle X^{\prime }}$ 具有对偶范数。

• ${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的闭单位球为弱*紧^[3]。相比之下，若${\displaystyle X^{\prime }}$ 为无穷维，则其闭单位球在范数拓扑中必不为紧（F·里斯定理（英语：F. Riesz theorem））。
• 某巴拿赫空间自反，当且仅当其闭单位球在弱拓扑${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ 下为紧。^[3]
• 若${\displaystyle X}$ 为自反巴拿赫空间，则${\displaystyle X}$ 中每个有界序列，都有弱收敛子列。（此为对${\displaystyle X}$ 某个弱可度量子空间应用巴拿赫-阿劳格鲁定理的结果。更简洁而言，是应用埃伯莱恩-什穆良定理（英语：Eberlein–Šmulian theorem）。）举例，设${\displaystyle X}$ 为L^p空间${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ，其中${\displaystyle 1<p<\infty }$ 。设${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ 为${\displaystyle X}$ 中函数组成的有界序列。则存在子列${\displaystyle (f_{n_{k}})_{k}}$ ，且有${\displaystyle f\in X}$ 使得
  $${\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to \int fg\,\mathrm {d} \mu }$$

   
  对于${\displaystyle X^{\prime }=L^{q}(\mu )}$ 中的任意函数${\displaystyle g}$ 成立，其中${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ 。对于${\displaystyle p=1}$ ，没有相应的结论，因为${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ 不自反。

希尔伯特空间

• 任意希尔伯特空间中，闭有界集必然弱相对紧（英语：Relatively compact subspace），即其在弱拓扑的闭包为弱紧，故每个有界网必有弱收敛子网（希尔伯特空间皆自反）。
• 由哈恩－巴拿赫定理，范数拓扑中的闭凸集，在弱拓扑中也是闭集，故希尔伯特空间或自反巴拿赫空间中，凸有界集的范数闭包必为弱紧。
• 设${\displaystyle H}$ 为希尔伯特空间，${\displaystyle B(H)}$ 为其上有界算子的空间，则${\displaystyle B(H)}$ 可以配备以下两种不同的拓扑：一则超弱拓扑（英语：ultraweak topology），即${\displaystyle B(H)}$ 作为迹类算子空间${\displaystyle B_{1}(H)}$ 的对偶所具备的弱*拓扑；二则弱算子拓扑（英语：weak operator topology），是使形如${\displaystyle T\mapsto \langle Tx,y\rangle }$ 的映射皆连续的最弱的拓扑，此拓扑比超弱拓扑更弱。此定义下，${\displaystyle B(H)}$ 中的闭有界子集，关于弱算子拓扑为相对紧。所以，算子的有界序列必有某个弱极限点。其推论是，${\displaystyle B(H)}$ 配备弱算子拓扑或超弱拓扑时，满足海涅-博雷尔性质。

通常，会用到吉洪诺夫定理来证明巴拿赫-阿劳格鲁定理，所以要依赖于ZFC公理系统，尤其是选择公理。主流泛函分析中，许多结果皆依赖选择公理。然而，本定理在可分空间的情况（见§ 序列版本）并不依赖选择公理，该情况下有构造性证明。对于不可分的情况，超滤子引理（英语：ultrafilter Lemma）比选择公理严格弱，但亦足以证明巴拿赫-阿劳格鲁定理。反之，巴拿赫-阿劳格鲁定理也推出超滤子引理，所以两者等价。

• 毕晓普-菲尔普斯定理（英语：Bishop–Phelps theorem）
• 巴拿赫-马祖尔定理（英语：Banach–Mazur theorem）
• Δ收敛（英语：Delta-convergence）
• 埃伯莱恩-什穆良定理（英语：Eberlein–Šmulian theorem）
• 古德斯汀定理（英语：Goldstine theorem）
• 詹姆斯定理（英语：James' theorem）
• 克列因-米尔曼定理（英语：Krein-Milman theorem）
• 马祖尔引理（英语：Mazur's lemma）
• 拓扑向量空间——有“连续”概念的向量空间

• Köthe, Gottfried. Topological Vector Spaces I [拓扑向量空间一]. New York: Springer-Verlag. 1969 （英语）. 见§20.9。
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar. Introduction to Functional Analysis [泛函分析导论]. Oxford: Clarendon Press. 1997. ISBN 0-19-851485-9 （英语）.  见Theorem 23.5，p. 264。
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces [拓扑向量空间]. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 （英语）. 
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• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces [拓扑向量空间]. GTM 8 Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 （英语）. 
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