自伴算子

数学里,作用于一个有限维的内积空间,一个自伴算子self-adjoint operator)等于自己的伴随算子;等价地说,在一组单位酉正交基下,表达自伴算子的矩阵埃尔米特矩阵。埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理,必定存在着一个正交归一基,可以表达自伴算子为一个实值对角矩阵

量子力学

量子力学里,自伴算子,又称为自伴算符,或厄米算符Hermitian operator),是一种等于自己的厄米共轭算符。给予算符 和其伴随算符 ,假设  ,则称 为厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可观察量

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以,可观察量 的期望值是实值的:

 

对于任意量子态 ,这关系都成立;

 

根据伴随算符的定义,假设  的伴随算符,则 。因此,

 

这正是厄米算符的定义。所以,表示可观察量的算符 ,都是厄米算符。

可观察量,像位置动量角动量,和自旋,都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符 是一个很重要的自伴算符,表达为

 

其中, 是粒子的波函数 约化普朗克常数 质量 位势

哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量,一个可观察量

动量是一个可观察量,动量算符应该也是厄米算符:选择位置空间,量子态 的波函数为 

 

对于任意量子态  。所以,动量算符确实是一个厄米算符。

参考文献

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106.  )