弱*拓扑

在域${\displaystyle \mathbb {K} }$ （${\displaystyle \mathbb {K} }$ 是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或${\displaystyle \mathbb {C} }$ ）上的赋范空间${\displaystyle E}$ 中，每一个元素${\displaystyle x}$ ，都可以定义对偶空间${\displaystyle E^{*}}$ 上的一个线性算子${\displaystyle {\hat {x}}(f):=f(x)}$ 。弱*拓扑是在${\displaystyle E^{*}}$ 上最弱的拓扑，使得所有这样的${\displaystyle {\hat {x}}:E^{*}\to \mathbb {K} }$ 都是连续的。

弱*拓扑可以更具体的定义，在${\displaystyle E^{*}}$ 上给出它的邻域基：对任何${\displaystyle f\in E^{*}}$ ，集合

${\displaystyle U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E^{*};|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\}}$ 

其中${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }}$ ，${\displaystyle \epsilon >0}$ ，是${\displaystyle f}$ 的弱*开的邻域基。

弱*拓扑的收敛条件很简单：序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}}$ 在弱*拓扑中收敛，如果对任何${\displaystyle x\in E}$ 都有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ ，即${\displaystyle f_{n}}$ 逐点收敛到${\displaystyle f}$ 。弱*收敛记作${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$ 。

弱*收敛性比依范数收敛性弱。如果${\displaystyle \|f-f_{n}\|\to 0}$ ，其中${\displaystyle \|\cdot \|}$ 是${\displaystyle E^{*}}$ 的范数，则${\displaystyle f_{n}}$ 必然逐点收敛于${\displaystyle f}$ ，因而有${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$ ；但是，${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$ 不一定有${\displaystyle \|f-f_{n}\|\to 0}$ ，甚至可能${\displaystyle \|f_{n}\|\nrightarrow \|f\|}$ 。

对偶空间${\displaystyle E^{*}}$ 加上弱*拓扑是一个局部凸空间，因此可以由给予${\displaystyle E^{*}}$ 一个半范数的系统定义弱*拓扑。对${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }}$ ，

${\displaystyle p_{x_{1},\ldots x_{n}}(f):=\max\{|f(x_{1})|,\ldots ,|f(x_{n})|\}}$ ,

构成这样一个半范数的系统。

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968