局部紧

设${\displaystyle X}$ 为拓扑空间。通常称${\displaystyle X}$ 局部紧的意思是，${\displaystyle X}$ 的每点${\displaystyle x}$ ，都有紧邻域，即开集${\displaystyle U}$ 和紧集${\displaystyle K}$ ，令${\displaystyle x\in U\subseteq K}$ 。

也有其他常见定义。下列定义在${\displaystyle X}$ 豪斯多夫（预正则空间亦然）时皆等价，但一般则不一定：

1. ${\displaystyle X}$ 的每点皆有紧邻域；

2. ${\displaystyle X}$ 的每点皆有闭的紧邻域；

2′. ${\displaystyle X}$ 的每点皆有相对紧（英语：relatively compact）邻域；

2″. ${\displaystyle X}$ 的每点皆有相对紧（英语：relatively compact）邻域组成的局部基；

3. ${\displaystyle X}$ 的每点皆有紧邻域组成的局部基；

3′. 对${\displaystyle X}$ 的每点${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x}$ 的每个邻域都包含其一个紧邻域；

4. ${\displaystyle X}$ 为豪斯多夫，且满足前述以上全部条件。

上述条件中的逻辑关系有：

• 条件2、2′、2″等价；
• 条件3、3′等价；
• 条件2、3互不推出对方；
• 全部皆推出条件1；
• 紧空间必定满足条件1、2，条件3则不必。

条件1或较常用作定义，因为最易满足，且当${\displaystyle X}$ 豪斯多夫时，全部条件皆与条件1等价。要证明等价，用到两个性质：其一，豪斯多夫空间的紧子集必为闭；其二，紧空间的闭子集必为紧。

由于条件2′、2″用相对紧集定义，满足该条件的空间可以更明确称为局部相对紧，而与局部紧空间区分。^[2][3]斯蒂恩（Steen）及泽巴赫（Seebach）^[4]:20称条件2、2′、2″为强局部紧，而称条件1为局部紧。

采用条件4的例子有布尔巴基^[5]。应用中，局部紧空间通常的确豪斯多夫，从而无需区分上述定义。本条目主要讨论此种局部紧豪斯多夫（LCH）空间。

紧豪斯多夫空间

紧豪斯多夫空间必然局部紧，此种例子见于条目紧空间，略举三例如下：

• 单位区间${\displaystyle [0,1]}$ 、
• 康托尔集、
• 希尔伯特立方（英语：Hilbert cube）。

局部紧但不紧的豪斯多夫空间

• 欧氏空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ （特例有数轴${\displaystyle \mathbb {R} }$ ）为局部紧（海涅-博雷尔定理的推论）。
• 拓扑流形的局部性质与欧氏空间一样，故亦为局部紧，甚至长直线之类的非仿紧的流形亦然。
• 离散空间皆局部紧及豪斯多夫（其为零维流形）。仅当离散空间为有限集时，该空间为紧。
• 任意局部紧豪斯多夫空间的开或闭子集，在子空间拓扑的意义下，皆为局部紧。由此有欧氏空间局部紧子集的若干例子，如单位圆盘（不论开或闭）。
• p进数空间${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 为局部紧，因为同胚于康托尔集删去一点。因此，局部紧空间不只在古典数学分析中有用，在P进数分析亦然。

非局部紧的豪斯多夫空间

若豪斯多夫空间为局部紧，则必为吉洪诺夫空间，详见下节。条目吉洪诺夫空间中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空间但非吉洪诺夫，故必不局部紧。

此外，也有吉洪诺夫空间非局部紧，例如：

• 有理数空间${\displaystyle \mathbb {Q} }$ （配备${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的子空间拓扑），因为每个邻域都有柯西序列收敛到无理数，而不在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中，从而不是紧邻域。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 的子空间${\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}$ ，因为原点并无紧邻域。
• 实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的下限拓扑（上限拓扑亦同），适用于研究单边极限（英语：one-sided limit）。
• 任何无穷维拓扑向量空间，但要柯尔莫果洛夫（T₀，从而豪斯多夫），例如无穷维的希尔伯特空间。

首两个例子说明，局部紧空间的子集不必局部紧，与前节开（或闭）子集的情况相对。末一个例子，则与前节欧氏空间的情况相对；具体言之，豪斯多夫拓扑向量空间为局部紧，当且仅当其为有限维（等同欧氏空间）。此例亦与希尔伯特立方（英语：Hilbert cube）作为紧空间的情况相对，但并无矛盾，因为希尔伯特立方不能是希尔伯特空间某点的邻域。

非豪斯多夫的局部紧空间

• 有理数空间${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的单点紧化（英语：one-point compactification）是紧空间，从而在意义1及2下是局部紧，但在意义3下则不然。
• 任何无穷集上的特定点拓扑（英语：particular point topology）在意义1及3下是局部紧，但在意义2下则不然，因为任何邻域的闭包皆是整个空间，故不为紧集。实轴上的上拓扑（英语：upper topology）也同样。
• 所以，若取前两项例子的不交并（英语：disjoint union (topology)），则在意义1下局部紧，但在意义2及3下不然。
• 谢尔宾斯基空间在意义1、2、3下皆局部紧，且是紧空间，但不是豪斯多夫空间（甚至并不预正则），故不是意义4下的局部紧空间。可数多个谢尔宾斯基空间的不交并（同胚于亚尔马·埃克达尔拓扑（Hjalmar Ekdal topology）^[6]）非紧，但仍是意义1、2、3下的局部紧空间，而不是意义4下的局部紧空间。

局部紧的预正则空间（英语：preregular space）必为吉洪诺夫空间（完全正则）。由此推论，局部紧的豪斯多夫空间亦为吉洪诺夫空间。由于“正则”比“预正则”（通常稍弱）或“完全正则”（通常稍强）更常用，文献一般称此类空间为局部紧正则空间。同理，局部紧的吉洪诺夫空间一般称局部紧豪斯多夫空间。

局部紧豪斯多夫空间必为贝尔空间（英语：Baire space）。换言之，贝尔纲定理适用于此类空间：取任意可数多个无处稠密集，其并集的内部必为空集。

局部紧豪斯多夫空间${\displaystyle Y}$ 的拓扑子空间${\displaystyle X}$ 也是局部紧，当且仅当${\displaystyle X}$ 是${\displaystyle Y}$ 某两个闭子集之差。由此推论，局部紧豪斯多夫空间${\displaystyle Y}$ 的子空间${\displaystyle X}$ 为局部紧当且仅当${\displaystyle X}$ 是开子集。若将${\displaystyle Y}$ 放宽成任意豪斯多夫空间，则由子空间${\displaystyle X}$ 局部紧，仍能推出${\displaystyle X}$ 为${\displaystyle Y}$ 某两个闭子集之差，反之则不然。

局部紧空间的商空间必为紧生成。反之，紧生成空间必为某个局部紧豪斯多夫空间的商。

对局部紧空间而言，局部均匀收敛（英语：local uniform convergence）与紧收敛等价。

无穷远点

设${\displaystyle X}$ 为局部紧豪斯多夫空间，则${\displaystyle X}$ 作为吉洪诺夫空间，固然能藉斯通－切赫紧化，嵌入到紧豪斯多夫空间${\displaystyle b(X)}$ ，但有了局部紧的特殊性质，则有更简单的方法嵌入到紧豪斯多夫空间，称为单点紧化（英语：one-point compactification）。新空间${\displaystyle a(X)}$ 仅比${\displaystyle X}$ 多一点。（单点紧化适用于其他空间，但所得的${\displaystyle a(X)}$ 为豪斯多夫，当且仅当${\displaystyle X}$ 本身是局部紧且豪斯多夫。）所以，局部紧豪斯多夫空间也可以刻划成紧豪斯多夫空间的开子集。

${\displaystyle a(X)}$ 多出的一点可直观视为无穷远点，此点不在${\displaystyle X}$ 的任何紧子集中。因此，所谓趋向无穷之事，有一些可借此以局部紧豪斯多夫空间阐明。 举例，定义在${\displaystyle X}$ 上的连续实值（英语：real-valued function）或复值函数（英语：complex-valued function）${\displaystyle f}$ 称为消失于无穷远，是指给定任意正实数${\displaystyle \varepsilon }$ ，${\displaystyle X}$ 皆有紧子集${\displaystyle K}$ ，使${\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }$ 对${\displaystyle K}$ 外的一切点${\displaystyle x}$ 成立。前述定义适用于任意拓扑空间${\displaystyle X}$ ，而在${\displaystyle X}$ 为局部紧豪斯多夫的特例，等价于${\displaystyle f}$ 能延拓成单点紧化${\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}$ 上的连续函数${\displaystyle g}$ ，使${\displaystyle g(\infty )=0}$ 。

消失于无穷远的连续复值函数之集合${\displaystyle C_{0}(X)}$ 是C*代数。反之，可交换的C*代数必同构于某个局部紧豪斯多夫空间${\displaystyle X}$ 的${\displaystyle C_{0}(X)}$ ，其中${\displaystyle X}$ 在同胚意义下唯一。以范畴言之，局部紧空间范畴与交换C*代数范畴对偶（英语：Duality (category theory)），其证法用到盖尔范德表示（英语：Gelfand representation）^[7]。前一范畴中，${\displaystyle X}$ 加入无穷远点，变成${\displaystyle a(X)}$ 之事，在后一范畴对应向${\displaystyle C_{0}(X)}$ 添加单位元。

局部紧群

拓扑群论中，局部紧是重要概念，因为每个豪斯多夫局部紧群（英语：locally compact group）${\displaystyle G}$ 都自然配备哈尔测度，因而在${\displaystyle G}$ 上定义可测函数的积分。实数轴${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的勒贝格测度为其特例。

拓扑交换群（英语：Topological abelian group）${\displaystyle A}$ 的庞特里亚金对偶为局部紧，当且仅当${\displaystyle A}$ 是局部紧。又以范畴言之，庞特里亚金对偶是局部紧交换群范畴的自对偶（英语：Duality (category theory)）。研究局部紧交换群，为调和分析奠下基础。此领域现也研究非交换的局部紧群。

• F. 里斯定理（英语：F. Riesz's theorem）