柯尔莫果洛夫空间

一个拓朴空间X是T₀ 空间，当且仅当${\displaystyle \forall x,y\in X}$ 且${\displaystyle x\neq y}$ ，存在一个开集合${\displaystyle U}$ 使得${\displaystyle x\in U,\ y\notin U}$ 或${\displaystyle y\in U,\ x\notin U}$ 。^[1]

T₀ 空间中所有成对的独特的点都是拓扑可区分的。也就是说，对于任何两个独特的点 x 和 y ，有一个开集正好只包含这两个点其中的一个。

注意拓扑可区分点自动的是独特的。在另一方面，如果单元素集合 {x} 和 {y} 是分离的，则点 x 和 y 必定是拓扑可区分的。也就是说，

“分离”的 ⇒ “拓扑可区分”的 ⇒ “独特”的

是拓扑可区分的性质一般的要强于是独特的，但要弱于可分离的。在 T₀ 空间中，第二个箭头是可以反转的：点是独特的当且仅当它们是拓朴可区分的。这是 T₀ 公理适合余下分离公理之处。

在数学中经常研究的几乎所有拓扑都是 T₀ 的。特别是，所有豪斯多夫空间和 T₁ 空间都是 T₀ 的。

非 T₀ 空间

• 有多于一个元素的集合带有密着拓扑。没有点是可区分的。
• 集合 R² 这里的开集是 R 的开集和 R 自身的笛卡尔乘积，就是说带有平常拓扑 R 和带有密着拓扑 R 的乘积空间；点 (a,b) 和 (a,c) 是不可区分的。
• 所有从实直线 R 到复平面 C 的可测函数 f 的空间，它使得 |f(x)|² 在整个实直线上的勒贝格积分是有限的。几乎处处相等的两个函数是不可区分的。

T₀ 但非 T₁ 空间

• 交换环 R 的素环谱 Spec(R) 上的 Zariski拓扑总是 T₀ 但一般不是 T₁。非闭合点对应于不是极大理想的素理想。它们对于理解概形是重要的。
• 在带有至少两个元素的任何集合上的特定点拓扑是 T₀ 但不是 T₁，因为特定点不是闭合的（它的闭包是整个空间）。一种重要特殊情况是在集合 {0,1} 上的特定点拓扑的谢尔宾斯基空间。
• 在带有至少两个元素的任何集合上的排斥点拓扑是 T₀ 但不是 T₁。唯一闭合点是排斥点。
• 在偏序集合上的Alexandrov拓扑是 T₀ 但不是 T₁ 除非这个次序是离散的（一致于相等性）。所有有限 T₀ 空间都是这种类型的。这还包括特定点和排斥点拓扑作为特殊情况。
• 在全序集合上的右序拓扑是有关的例子。
• 重叠区间拓扑类似于特定点拓扑，因为所有开集都包括 0。
• 非常一般的说，拓扑空间 X 是 T₀ 的，当且仅当在 X 上的特殊化预序是偏序。但是，X 将是 T₁ 的，当且仅当这个次序是离散的（一致于相等性）。所以空间将是 T₀ 但不是 T₁，当且仅当在 X 上的这个特殊化预序是非离散偏序。

典型研究的拓扑空间的例子是 T₀。实际上，当数学家在很多领域特别是数学分析中，偶尔遇到非T₀ 空间的时候，它们通过以如下方式把它替代为 T₀ 空间。为了激发涉及到的想法，考虑周知的例子。L²(R) 空间是从实直线 R 到复平面 C 的可测函数的空间，它使得 |f(x)|² 在整个实直线上的勒贝格积分是有限的。这个空间应当通过定义范数 ||f|| 为这个积分的平方根来变成赋范向量空间。问题是这不是实际上的范数，只是半范数，因为有除了零函数之外有（半）范数为零的函数。标准解决是定义 L²(R) 为函数的等价类集合而不是直接的函数集合。这种构造了最初半赋范向量空间的商空间，而这个商是赋范向量空间。它从半赋范空间继承了一些方便的性质。

一般的说，在处理集合 X 上一个固定拓扑 T 的时候，如果这个拓扑是 T₀ 将是有帮助的。换句话说，在 X 是固定而 T 允许在特定边界内变化的时候，强迫 T 是 T₀ 将是不方便的，因为非 T₀ 拓扑经常是重要的特殊情况。因此，区分可以放置在拓扑空间上的各种条件的 T₀ 和非 T₀ 版本二者是重要的。

点的拓扑不可区分性是等价关系。不管给出了何种拓扑空间 X，在这个等价关系下的商空间总是T₀。这个商空间叫做 X 的柯尔莫果洛夫商空间，它指示为 KQ(X)。当然，如果 X 就是 T₀，则 KQ(X) 和 X 是自然同胚的。绝对的说，柯尔莫果洛夫空间是拓扑空间的反射子范畴，而柯尔莫果洛夫商是反射子。

拓扑空间 X 和 Y 是柯尔莫果洛夫等价的，当它们的柯尔莫果洛夫商同胚的时候 。这种等价性保持很多拓扑空间的性质；就是说，如果 X 和 Y 是柯尔莫果洛夫商，则 X 有某种性质当且仅当 Y 也有。在另一方面，多数其他拓扑空间的性质蕴涵了 T₀ 性；就是说如果 X 有这种性质，则 X 必定是 T₀。只有很少性质比如是不可分空间，是这个经验规则的例外。甚至更好，在拓扑空间上定义的很多结构都可在 X 和 KQ(X) 之间转移。结果就是如果你有带有特定结构或性质的非 T₀ 拓扑空间，则你通常可通过选取柯尔莫果洛夫商来形成带有相同结构或性质的 T₀ 空间。

L²(R) 的例子展示了这些特征。从拓扑学的角度，这个半赋范向量空间有很多额外的结构；例如，它是向量空间，并有半范数，并且这些定义了相容于这个拓扑的伪度量和一致结构。还有，这些结构有很多性质；例如半范数满足平行四边形恒等式而一致结构是完备的。这个空间不是 T₀ 的因为几乎处处相等的任何两个 L²(R) 的函数关于这个拓扑是不可区分的。当我们形成柯尔莫果洛夫商的时候，实际的 L²(R) 保持了这些结构和性质。因此，L²(R) 也是满足平行四边形恒等式的完备半赋范向量空间。但是我们实际上得到的要多了一点，因为这个空间现在是 T₀ 的。半范数是范数，当且仅当底层拓扑是 T₀，所以 L²(R) 实际上是满足平行四边形恒等式的完备赋范向量空间 — 也叫做希尔伯特空间。它是数学家（和研究量子力学的物理学家）一般都研究的希尔伯特空间。注意符号 L²(R) 通常指示柯尔莫果洛夫商，在测度零的集合上有所不同的平方可积函数的等价类的集合，而非符号所暗示的简单的是平方可积函数的向量空间。

你可能注意到了，尽管范数历史上定义在先，人们也提出了半范数的定义，它是范数的一种非 T₀ 版本。一般的说，可以定义拓扑空间的性质和结构二者的非 T₀ 版本。首先，考虑拓扑空间的一个性质，比如是豪斯多夫的性质。你可以定义另一个拓扑空间性质，通过定义空间 X 为满足这个性质，当且仅当柯尔莫果洛夫商 KQ(X) 是豪斯多夫的。这是一个明智的不太著名的性质，这种空间 X 被为预正则的。（甚至有预正则性的更直接的定义）。现在考虑可以放置到拓扑空间上一个结构，比如度量。我们可以通过设置在 X 上的结构简单的是在 KQ(X) 上的度量来定义一个新结构。有这种在 X 上的明智的结构，它就是伪度量。（伪度量也有更直接的定义）。

在这种方式下，有从性质或结构的要求中去除 T₀ 性的自然方式。研究 T₀ 的空间一般要容易些，但让非 T₀ 的结构得到漂洗后的对应者也是容易的。使用柯尔莫果洛夫商的概念可以任意的增加或去除 T₀ 要求。

• The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.
• History of weak separation axioms (PDF file)