线性泛函

若V是一拓扑向量空间，所有连续线性泛函的集称为连续对偶，有时也简称为对偶空间。若${\displaystyle V}$ 是巴拿赫空间，其对偶空间也是。为了把普通的对偶空间与连续对偶空间区别，有时把前一个称为代数对偶。在有限维空间中，每一个线性泛函都是连续的，因此连续对偶与代数对偶相同；但在无限维空间的情况下，连续对偶是代数对偶的真子空间。

Rⁿ内的线性泛函

假设实坐标空间Rⁿ内的向量用列向量来表示：

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$ 

那么这些坐标中的任何线性泛函都可以用以下形式的和来表示：

${\displaystyle f({\vec {x}})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}.}$ 

这仅仅是行向量[a₁ ... a_n]与列向量${\displaystyle {\vec {x}}}$ 的矩阵乘积：

${\displaystyle f({\vec {x}})=[a_{1}\dots a_{n}]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$ 

积分

线性泛函首先出现在泛函分析——函数的向量空间的研究中。线性泛函的一个典型的例子是积分：由黎曼积分所定义的线性变换

${\displaystyle f\mapsto I(f):=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ 

是由${\displaystyle C[a,b]}$ （在${\displaystyle [a,b]}$ 上定义的连续函数）的向量空间映射到${\displaystyle \mathbb {R} }$ 线性泛函。I(ƒ)的线性可以从积分的基本事实推出：

${\displaystyle I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx}$ 

${\displaystyle =\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)}$ 

${\displaystyle I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx}$ 

${\displaystyle =\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)}$ 

计值泛函

以 ${\displaystyle P_{n}}$  表示定义在区间 ${\displaystyle [a,b]}$  上的不超过${\displaystyle n}$  次的实值多项式。 若${\displaystyle c\in [a,b]}$ ，则设计值泛函（英语：evaluation functional）${\displaystyle ev_{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$ ：

${\displaystyle ev_{c}f=f(c).}$ 

映射ƒ → ƒ(c)是线性的，因为：

${\displaystyle (f+g)(c)=f(c)+g(c)}$ 

${\displaystyle (\alpha f)(c)=\alpha f(c).}$ 

若 ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}$  是${\displaystyle [a,b]}$  上的不同点，那么${\displaystyle ev_{x_{i}}}$  是${\displaystyle P_{n}}$  对偶空间的一个基。（Lax (1996)以拉格朗日插值法证明此。）

在数值积分的应用

以上定义的积分泛函I定义了次数不超过n的多项式的子空间P_n上的线性泛函。如果x₀，……，x_n是[a,b]内n+1个不同的点，那么存在系数a₀，……，a_n，使得对于所有的ƒ ${\displaystyle \in }$  P_n，都有：

${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$ 

这形成了数值积分理论的基础。

这可以从以上定义的线性泛函P_n的对偶空间的基的事实推出（Lax 1996）。

量子力学中的线性泛函

线性泛函在量子力学中特别重要。量子力学系统以跟其对偶空间共轭同构的希尔伯特空间表示。系统的一个态可以一线性泛函表示。详见狄拉克符号。

统计学上的分布

在广义函数的理论，分布可以视为测试函数空间的线性泛函。

• 任何线性泛函要么是平凡的（处处为0），要么是到标量域的满射。这是由于向量子空间在线性变换下的像是一个子空间，因此是V在L下的像。但k唯一的子空间（也就是说，k-子空间）是{0}和k本身。

• 一个线性泛函是连续的，当且仅当它的核是封闭的（Rudin 1991，Theorem 1.18）。

• 具有相同核的线性泛函是成正比的。

• 线性泛函是(0 1)类型的张量。它是非标量协变张量的最简单的一种。

从有限维空间内的每一个非退化的双线性形式，都可以得到一个从V到V*的同构。特别地，把V内的双线性形式记为⟨ , ⟩ （例如在欧几里得空间中，⟨v,w⟩ = v·w是v和w的数量积），那么存在一个自然同构${\displaystyle V\to V^{*}:v\mapsto v^{*}}$ ，由下式给出：

${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle .\,}$ 

逆同构由${\displaystyle V^{*}\to V:f^{*}\mapsto f}$ 给出，其中ƒ是V的唯一元素，使得对于所有的w ∈ V，都有：

${\displaystyle \langle f,w\rangle =f^{*}(w).\,}$ 

以上定义的向量v* ∈ V*称为v ∈ V的对偶向量。

根据里斯表示定理，在无穷维希尔伯特空间中，类似的结果也成立。存在一个从V → V*到连续对偶空间 V*的映射。然而，这个映射不是线性的，而是反线性的。

在有限维空间内，一个线性泛函可以用其水平集来表示。例如在三维空间，一个线性泛函的水平集是互相平行的平面的族。在高维空间，它们就是平行的超平面。这种观点可以在一些广义相对论的文献找到，如Misner，Thorne & Wheeler (1973)。

对偶空间的基

以V*表示V的对偶空间，对于一有限维向量空间V，V与V*同构。

设V有基${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2}}$ ，……，${\displaystyle {\vec {e}}_{n}}$ ，不一定正交。那么，V*具有一个基（称为对偶基）${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},\ {\tilde {\omega }}^{2}}$ , … , ${\displaystyle \ {\tilde {\omega }}^{n}}$ ，可以这样构作：

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\delta _{j}^{i}}$ 

其中δ是克罗内克函数。此处的上标并非幂而是反变。

属于对偶空间${\displaystyle {\tilde {V}}}$ 的线性泛函${\displaystyle {\tilde {u}}}$ 可以表示为基泛函的线性组合，其系数（“分量”）为u_i：

${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}}$ 

于是，把泛函${\displaystyle {\tilde {u}}}$ 应用于基向量e_j，得：

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}){\vec {e}}_{j}=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j}))}$ 

这是由于泛函的标量倍数的线性，以及泛函的和的逐点线性。那么：

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j}))=\sum _{i}u_{i}\delta ^{i}{}_{j}=u_{j}}$ 

也就是说：

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=u_{j}.}$ 

最后一个方程说明了线性泛函的各个分量可以通过把泛函应用于对应的基向量来获取。

对偶基与内积

当空间V带有内积时，可以明确写出给定基的对偶基的一个公式。设V具有（不一定正交的）基${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}}$ 。在三维空间内（n = 3），对偶基可以明确写成：

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})={1 \over 2}\,\left\langle {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon ^{ijk}\,({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}) \over {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}},{\vec {v}}\right\rangle .}$ 

对于i=1，2，3，其中${\displaystyle \epsilon \,\!}$ 是列维-奇维塔符号，${\displaystyle \langle ,\rangle }$ 是V上的内积（或数量积）。

在高维空间中，可以推广如下：

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\epsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star {\vec {e}}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{i_{n}})}{\star ({\vec {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{n})}},{\vec {v}}\right\rangle }$ 

其中${\displaystyle \star }$ 是霍奇星算子。

如果有度规结构${\displaystyle {g}}$ ，就会产生一个V到V*的同构映射${\displaystyle {f}}$ . 当基向量${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2}}$ ，……，${\displaystyle {\vec {e}}_{n}}$ 是在度规${\displaystyle {g}}$ 下的标准正交基的时候, ${\displaystyle f({\vec {e}}_{i})={\tilde {\omega }}^{i}=g(-,{\vec {e}}_{i})}$  来充当对偶基。 当是正交基的时候用${\displaystyle {\frac {g(-,{\vec {e}}_{i})}{g({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{i})}}}$ 来充当对偶基。 正是因为有度规产生的同构存在就没有必要再提对偶空间了。

• 泛函
• 1-形式
• 不连续线性映射
• 里斯表示定理
• 正线性泛函
• 双线性型

• Bishop, Richard; Goldberg, Samuel, Chapter 4, Tensor Analysis on Manifolds, Dover Publications, 1980, ISBN 0-486-64039-6 
• Halmos, Paul, Finite dimensional vector spaces, Springer, 1974, ISBN 0387900934 
• Lax, Peter, Linear algebra, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 978-0471111115 
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A., Gravitation, W. H. Freeman, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 

• Schutz, Bernard, Chapter 3, A first course in general relativity, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-27703-5