积空间
定义
令I为(可能无穷的)指标集,并设Xi为I中由i所对应的每一个拓扑空间。置X = Π Xi,也即集合Xi的卡积。对于每个I中的i,我们有一个标准投影 pi : X → Xi。X上的积拓扑定义为所有投影pi在该拓扑下连续的最疏拓扑(也就是开集最少的拓扑)。该乘积拓扑有时也称为吉洪诺夫拓扑。
很明显,X上的乘积拓扑可以表述为形为pi−1(U)的集合生成的拓扑,其中i属于I,而U是Xi的一个开集。换句话说,集合{pi−1(U)}构成X上的拓扑的子基。X的子集是开的当且仅当它是(可能无穷多的)的有限个形为pi−1(U)的集合的交集的并集。pi−1(U)有时称为开柱,而它们的交集称为柱集。
我们可以用构成X的空间Xi的基来表述乘积拓扑的基。设对于每个i属于I,选取一个集合Yi或者是整空间Xi或者是该空间的一个基,并且满足Xi = Yi对于除了有限个I中的i之外的所有i成立。令B为集合Yi的卡积。所有可以这样构造的B集合的族构成乘积空间的一个基。这意味着有限多空间的乘积有一个由Xi的基元素的乘积组成的基。
如果指标集为有限(特别是,对于两个拓扑空间的乘积),则积拓扑有更简单的表述。这个情况下,每个Xi的拓扑的乘积构成X上的拓扑的一个基。一般来讲,Xi的拓扑的乘积构成一个称为X上的盒拓扑的基。一般情况下,盒拓扑比积拓扑更细,但是对于有限乘积,它们是相同的。
例子
从实直线R上的标准拓扑开始,定义n份R的乘积,就得到普通的Rn上的欧几里得拓扑。
属性
乘积空间X加上标准投影,可以用如下的泛性质来刻划:若Y是拓扑空间,并且对于每个I中的i,fi : Y → Xi是一个连续映射,则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立:
这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述泛性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下,检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射f : Y→ X是否连续通常更难;可以试着用某种方式利用pi连续这一点。
除了连续,标准投影pi : X → Xi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真:若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间,则W不一定是X中的开集。(例如,W = R2 \ (0,1)2.)标准投影通常不是闭映射。
积拓扑有时称为点式收敛拓扑,因为:X上的一个序列 (或者网)收敛当且仅当它所有到Xi的投影收敛。特别是,如果考虑所有在空间X = RI 对于所有I上的实值函数,在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。
和其它拓扑概念的联系
- 可分离性
- 紧致性
- 每个紧致空间的积是紧致的(吉洪诺夫定理)
- 局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。
- 连通性
- 每个连通(路径-连通)空间是连通的(路径-连通的)。
- 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。
每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U的空间称为纤维丛。
参看
- 盒拓扑
- 不交并 (拓扑学)
- 商空间
- 子空间拓扑