拓扑空间范畴

在数学里，拓扑空间范畴（通常标记为Top）是一个范畴，其物件为拓扑空间，态射为连续函数。拓扑空间范畴符合范畴的公理，因为两个连续函数的复合函数依然是连续的。研究拓扑空间范畴及运用范畴论的技术来研究拓扑空间的性质之类的学科称为“范畴拓扑学（categorical topology）”。

注意，有些作者会将Top这个标记用来指物件为拓扑流形，态射为连续函数的范畴。

作为具体范畴

如同许多范畴一般，范畴Top也是个具体范畴，意指其物件为有附加结构的集合（即拓扑），且其态射为维持此一结构的函数。自然地存在一可遗函子

U : Top → Set（其中Set为集合范畴），将每个拓扑空间指派给同个拓扑空间内的集合，每个连续函数给为同个连续函数的函数。

可遗函子U有一个左伴随函子

D : Set → Top（将每个集合加上离散拓扑）

及一个右伴随函子

I : Set → Top（将每个集合加上密著拓扑）。实际上，上述两个函子皆对U为右可逆（即UD和UI都等于在Set上的单位函子）。甚至，因为任何一个在离散或密著空间之间的函数皆为连续的，所有这两个函子都给出了由Set映射至Top的完全内嵌。

具体范畴Top也是“纤维完全的”，意即由在一给定集合X上的所有拓扑所组成的范畴（称为U在X上的纤维)会形成一个依包含关系排序的完全格。这个纤纤的最大元素为X上的离散拓扑，而最小元素则为密著拓扑。

参考资料

  • Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
  • Herrlich, Horst: Categorical topology 1971 - 1981. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp. 279 - 383.
  • Herrlich, Horst & Strecker, George E.: Categorical Topology - its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) pp. 255 - 341.
  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories （页面存档备份，存于互联网档案馆） (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).