结式结式是数学中一个常用的不变量。考虑域 F {\displaystyle F} 上两个多项式 P , Q {\displaystyle P,Q} ，设其首项系数分别为 a , b {\displaystyle a,b} ，则其结式定义为 r e s ( P , Q ) := a deg Q b deg P ∏ ( x , y ) ∈ F ¯ 2 : P ( x ) = 0 , Q ( y ) = 0 ( x − y ) , {\displaystyle \mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,} 其中 F ¯ {\displaystyle {\bar {F}}} 为 F {\displaystyle F} 的给定代数闭包。由此定义的结式是 F {\displaystyle F} 的元素，而与代数闭包的选取无关。 目录 1 计算方式 2 性质 3 应用 4 外部链接 计算方式 结式亦可理解为西尔维斯特矩阵的行列式。 为简单起见，假设 P , Q {\displaystyle P,Q} 首项系数为一；若 Q {\displaystyle Q} 是可分多项式（换言之：无重根），则定义可改写为 r e s ( P , Q ) = ∏ P ( x ) = 0 Q ( x ) {\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,} 此式仅依赖于 Q {\displaystyle Q} 除以 P {\displaystyle P} 的余式。承上，可透过辗转相除法求得结式。性质 r e s ( P , Q ) = ( − 1 ) deg P ⋅ deg Q ⋅ r e s ( Q , P ) {\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)} r e s ( P ⋅ R , Q ) = r e s ( P , Q ) ⋅ r e s ( R , Q ) {\displaystyle \mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)} 若 P 1 = P + R ∗ Q {\displaystyle P_{1}=P+R*Q} 且 deg P 1 = deg P {\displaystyle \deg P_{1}=\deg P} ，那么 r e s ( P , Q ) = r e s ( P 1 , Q ) {\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)} 。在论及计算方式时已利用此性质。 若 X , Y , P , Q {\displaystyle X,Y,P,Q} 同次， X = a 00 ⋅ P + a 01 ⋅ Q , Y = a 10 ⋅ P + a 11 ⋅ Q {\displaystyle X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q} ，则有 r e s ( X , Y ) = det ( a 00 a 01 a 10 a 11 ) deg P ⋅ r e s ( P , Q ) {\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)} r e s ( P − , Q ) = r e s ( Q − , P ) {\displaystyle \mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)} ，其中 P − ( z ) := P ( − z ) {\displaystyle P_{-}(z):=P(-z)} 。应用 一多项式 P {\displaystyle P} 与其导数 P ′ {\displaystyle P'} 的结式可由判别式 D ( P ) {\displaystyle D(P)} 表示：设 P {\displaystyle P} 的首项系数为 a {\displaystyle a} ，则 D ( P ) = ( − 1 ) deg P ( deg P − 1 ) 2 a − 1 r e s ( P , P ′ ) {\displaystyle D(P)=(-1)^{\frac {\deg P(\deg P-1)}{2}}a^{-1}\mathrm {res} (P,P')} 。在代数几何中，可用结式计算两条平面代数曲线之交。 在域论中，结式可用来计算范数。外部链接 Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
上两个多项式 
，设其首项系数分别为 
，则其结式定义为
为 的给定代数闭包。由此定义的结式是 的元素，而与代数闭包的选取无关。