雅可比矩阵

假设某函数从 f : ℝⁿ → ℝ^m， 从 x ∈ ℝⁿ 映射到 向量 f(x) ∈ ℝ^m， 其雅可比矩阵是一 m×n 的矩阵，换句话讲也就是从 ℝⁿ 到 ℝ^m 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。

此函数 f 的雅可比矩阵 J 为 m×n 的矩阵，一般由以下方式定义：

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$ 

矩阵的分量可表示成：

${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ 

雅可比矩阵的其他常用符号还有：

${\displaystyle Df}$ 、 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }$ 、${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$  或者 ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$ 

此矩阵的第 ${\displaystyle i}$ 行是由函数 ${\displaystyle f_{i}}$  的梯度函数所表示的，${\displaystyle 1\leq i\leq m}$  。

如果 ${\displaystyle p}$ 是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  中的一点，${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle p}$ 点可微分，根据数学分析， ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}$ 是在这点的导数。在此情况下，${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}$ 这个线性映射即 ${\displaystyle f}$  在点  ${\displaystyle p}$ 附近的最优线性逼近，也就是说当 ${\displaystyle x}$ 足够靠近点  ${\displaystyle p}$ 时，我们有

${\displaystyle f(x)\approx f(p)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)\cdot (x-p)}$ 

讲更详细点也就是：

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {p} )+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)}$ 

其中，o 代表小o符号，‖x − p‖ 为 x 与 p 之间的距离。

例一

由球坐标系到直角坐标系的转化由 F: ℝ⁺ × [0, π) × [0, 2π) → ℝ³ 函数给出，其分量为：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y&=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$ 

此坐标变换的雅可比矩阵是

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}}$ 

其雅可比行列式为 r² sin θ。以体积元变换为例，由于 dV = dx dy dz，如果做变数变换，则其体积元（Volume element，dV），会变成：dV = r² sin θ dr dθ dφ。

例二

F : ℝ³ → ℝ⁴，其各分量为

${\displaystyle y_{1}=x_{1}\,}$ 

${\displaystyle y_{2}=5x_{3}\,}$ 

${\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,}$ 

${\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}\,}$ 

其雅可比矩阵为:

${\displaystyle J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}}$ 

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

考虑形为 ${\displaystyle x^{\prime }=F(x)}$ 的动力系统，${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ 。如果 ${\displaystyle F(x_{0})=0}$ ，那么 ${\displaystyle x_{0}}$ 是一个临界点。系统接近临界点时的行为跟 ${\displaystyle J_{F}(x_{0})}$ 的特征值相关。

如果 m = n，那么 F 是从 ℝⁿ 映射到 ℝⁿ 的函数，且它的雅可比矩阵是一个方阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。

在某个给定点的雅可比行列式提供了 F 在接近该点时的表现的重要资讯。例如，如果连续可微函数 F 在 p 点的Jacobi行列式不等于零，那么它在该点附近有 F 的反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果  p 点的Jacobi行列式是正数，则 F 在 p 点保持定向（preserves orientation）；如果是负数，则 F 逆转定向（reverses orientation）。而从Jacobi行列式的绝对值，就可以知道函数 F 在 p 点附近是放大或缩小体积；这就是它出现在换元积分法中的原因。

例子一

设有函数 F : ℝ³ → ℝ³，其分量为：

${\displaystyle y_{1}=5x_{2}\,}$ 

${\displaystyle y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\,}$ 

${\displaystyle y_{3}=x_{2}x_{3}\,}$ 

则它的Jacobi行列式为：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}}$ 

从中我们可以看到，当 x₁ 和 x₂ 同号时，F 逆转定向；该函数处处具有反函数，除了在 x₁ = 0 或 x₂ = 0 的点。

例子二

这是一个与巴塞尔问题${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 较为相似的级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$ 的求解方法，首先可以转化为二重积分（在这里 D₁ 指 x 与 y 皆为从 0 到 1 的正方形区域）：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\iint \limits _{D_{1}}\sum _{n=1}^{\infty }(xy)^{2n}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}}$ 

此时定义映射 F : ℝ² → ℝ²，满足：

${\displaystyle {\begin{cases}u=\arctan \left(x{\sqrt {\dfrac {1-y^{2}}{1-x^{2}}}}\right)\\v=\arctan \left(y{\sqrt {\dfrac {1-x^{2}}{1-y^{2}}}}\right)\end{cases}}\iff {\begin{cases}x={\dfrac {\sin u}{\cos v}}\\y={\dfrac {\sin v}{\cos u}}\end{cases}}}$ 

于是有相应的雅可比行列式：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\cos u}{\cos v}}&{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}v}}\\{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}u}}&{\dfrac {\cos v}{\cos u}}\end{vmatrix}}=1-{\frac {\sin ^{2}u\sin ^{2}v}{\cos ^{2}u\cos ^{2}v}}=1-x^{2}y^{2}}$ 

因此${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y=(1-x^{2}y^{2})\mathrm {d} u\mathrm {d} v}$ ，并且将正方形 D₁ 映射成 u>0、v>0、u+v<π/2 的等腰直角三角形，记为 D₂，得到：

${\displaystyle \iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}=\iint \limits _{D_{2}}\mathrm {d} u\mathrm {d} v=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}-v}\mathrm {d} u\right)\mathrm {d} v={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$ 

根据反函数定理，一个可逆函数（存在反函数的函数）的雅可比矩阵的逆矩阵即为该函数的反函数的雅可比矩阵。即，若函数 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ 在点 ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ 的雅可比矩阵是连续且可逆的，则 ${\displaystyle F}$ 在点 ${\displaystyle p}$ 的某一邻域内也是可逆的，且有

${\displaystyle J_{F^{-1}}\circ f=J_{F}^{-1}}$ 

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在反函数）。

一个多项式函数的可逆性与未经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。

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• Ian Craw的本科教学网页 雅可比行列式的通俗解释
• Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆） 更技术型的雅可比行列式的解释