积和式

一个${\displaystyle n\times n}$ 矩阵${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ 的积和式定义为

${\displaystyle \operatorname {perm} (A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}.}$ 

其中${\displaystyle S_{n}}$ 为${\displaystyle n}$ 阶置换群，即包含所有${\displaystyle n}$ 元排列的集合。在${\displaystyle n=2}$ 的特殊情形下，

${\displaystyle \operatorname {perm} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc.}$ 

从定义不难验证，积和式是多线性多项式，且置换${\displaystyle A}$ 中行（或列）后保持不变。与行列式类似，积和式也可以用拉普拉斯展开式展开。

作为比较，同一个矩阵${\displaystyle A}$ 的行列式定义为

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$ 

其中${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ 为符号差。可以看出，两者形式上的区别仅在于某些项前面的符号有所不同。尽管如此，它们在性质上却有诸多不同。比如，置换${\displaystyle A}$ 中两行（或列）后行列式的符号会改变，而正是这一性质使我们得以利用高斯消元法高效求出行列式的值。

积和式的定义可以从如下两方面理解，一是用于计算二分图上完美匹配的个数，二是用于计算一个图上的圈覆盖的个数。

与二分图完美匹配的关系

二分图上的完美匹配是算法理论和计算复杂性理论中的重要问题。设二分图${\displaystyle G=(L,R,E)}$ ，其中${\displaystyle L=\{1,2,\dots ,n\}}$ 是左边结点的集合，${\displaystyle R=\{1',2',\dots ,n'\}}$ 是右边结点的集合，${\displaystyle E}$ 为边的集合。如果双射${\displaystyle f:L\to R}$ 满足${\displaystyle (1,f(1)),(2,f(2)),\dots ,(n,f(n))}$ 均为${\displaystyle E}$ 中的边，那么我们称其为${\displaystyle G}$ 的一个完美匹配。

对包括二分图在内的任意图${\displaystyle G}$ ，我们定义其邻接矩阵${\displaystyle A_{G}=(a_{ij})_{n\times n}}$ 如下：若${\displaystyle (i,j')\in E}$  则 ${\displaystyle a_{ij}=1}$ ，否则 ${\displaystyle a_{ij}=0}$ 。不难验证，${\displaystyle \operatorname {perm} (A_{G})}$ 的值即是${\displaystyle G}$ 中完美匹配的个数，因为乘积项与双射之间一一对应，而不满足条件的双射所对应的乘积项为零。这样，我们就将积和式的值与二分图完美匹配的个数建立了联系。

与图的圈覆盖的关系

设有向图${\displaystyle G=(V,E)}$ ，${\displaystyle V=\{1,2,\dots ,n\}}$ 为结点集，${\displaystyle E}$ 为边集。${\displaystyle G}$ 的一个圈覆盖定义为${\displaystyle G}$ 中一组不相交的圈的集合，且这些圈覆盖了${\displaystyle V}$ 。由于一个置换可以做环状分解，可以看出一个置换与一个可能的圈覆盖是一一对应的。特别地，${\displaystyle G}$ 的邻接矩阵${\displaystyle A_{G}}$ 的积和式即是${\displaystyle G}$ 中圈覆盖的数目。

Valient首先证明了积和式的求值问题是#P完全的，即便矩阵各项的值仅能取0或1^[1]。也就是说，任何#P复杂性类中的计数问题都能多项式归约到积和式的求值问题。而户田定理（Toda's theorem）告诉我们${\displaystyle {\textsf {PH}}\subseteq {\textsf {P}}^{\#{\textsf {P}}}}$ ，因此假若能在确定性多项式时间内解决积和式求值问题，那么也能在确定性多项式时间内解决一切属于多项式谱系（${\displaystyle {\textsf {PH}}}$ ）的判定问题，进而导致${\displaystyle {\textsf {P}}={\textsf {NP}}={\textsf {PH}}}$ ；计算机科学家普遍相信这是不可能的。可见计算积和式的复杂性远比计算行列式高；后者易用高斯消元等算法在确定性多项式时间内解决。

虽然精确计算积和式很困难，但是的确存在近似计算积和式的高效算法。Jerrum，Sinclair和Vigoda设计出了一种多项式时间内的随机算法，能以任意精度（FPRAS）近似计算非负矩阵的积和式^[2]。

1. ^ Valiant, L.G. The complexity of computing the permanent. Theoretical Computer Science. 1979, 8 (2): 189–201 [2020-10-21]. doi:10.1016/0304-3975(79)90044-6. （原始内容存档于2021-03-08） （英语）. 
2. ^ Jerrum, Mark; Sinclair, Alistair; Vigoda, Eric. A polynomial-time approximation algorithm for the permanent of a matrix with non-negative entries. Proceedings of the thirty-third annual ACM symposium on Theory of computing - STOC '01 (Hersonissos, Greece: ACM Press). 2001: 712–721. ISBN 978-1-58113-349-3. doi:10.1145/380752.380877 （英语）.