四面体

四面体具有许多与之二维类比三角形相似的性质，例如，像三角形一样，四面体也有内切球、外接球、旁切球和中点四面体。四面体也有各种不同几何意义上的中心，例如内心、外心、旁心、Spieker心（英语：Spieker circle）和形心（在二维，Spieker心就是形心，但在三维情况发生了变化，Spieker心并不一定是形心），但是，四面体不总是有垂心，因为四面体的4条高并不一定交于一点。四面体的中点四面体的外接球是三角形九点圆的三维类比，但它并不总是通过原四面体高的垂足。

加斯帕尔·蒙日发现了存在于每一个四面体中的一个特殊中心，现在被命名为蒙日点：它是四面体六个中位面的交点。四面体的中位面被定义为一个与四面体其中两个顶点连成的边垂直，并且包含由另外两个顶点连成的对边的中点的平面。如果四面体的4条高交于了一点，形成了垂心，那么蒙日点将与垂心重合，并且这样的特殊四面体被称为“垂心四面体（英语：Orthocentric tetrahedron）”。

从蒙日点引向任意一面的垂线都会交这个面于这个三角形面的垂心与此面上四面体的高的垂足连线的中点。

四面体顶点和其对面形心的连线叫做四面体的中线，而四面体一条边中点和其对边中点的连线叫做四面体的双中线，这样，四面体中一共有4条中线和3条双中线。这7条线段都是共点的，它们的交点即是四面体的形心。四面体的形心是其蒙日点和外心连线的中点，这3个点一起决定了四面体的欧拉线，这是二维三角形欧拉线的三维类比。

四面体十二点球的球心T也位于这条欧拉线上。但不像其二维类比，这个球心位于从蒙日点到外心¹/₃处。并且，从这个心到四面体任意一选定面的垂线与另两条垂线共面：第一条是过其对应欧拉点（即蒙日点与该面所对顶点连线与十二点球的交点）到该面的垂线，第二条是过该面形心的垂线。这条十二点心垂线到欧拉点垂线和形心垂线的距离相等。除此以外，十二点心还是四面体任何一面对应欧拉点和该面垂心连线的中点。

四面体十二点球的半径是外接球半径的¹/₃。

对于任意的四面体，我们能给出其二面角之间的关系：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$ 

这里${\displaystyle \alpha _{ij}}$ 代表面i和j之间的二面角。

体积

任意四面体的体积公式可由棱锥的体积公式给出：

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,}$ 

在这里A₀是底面面积，h是从底面到顶点的高。这个体积公式对四个任意的底面的选择都成立，因此我们可以推断出对同一个四面体，其一个面上的高与这面的面积成反比。

对于一个四个顶点分别为 a = (a₁, a₂, a₃)、 b = (b₁, b₂, b₃)、 c = (c₁, c₂, c₃)、 d = (d₁, d₂, d₃) 的四面体，其体积公式为(1/6)·|(a − d, b − d, c − d)|一公式也可以用点积和叉积写为：

${\displaystyle V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot [(\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} )]|}{6}}.}$ 

如果建立恰当的坐标系统，使得原点与d顶点重合，即d=0的话，该式可以简化为：

${\displaystyle V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},}$ 

这里a、b、c代表着三条交于一顶点的边，并且我们发现a · (b × c)是标量三重积。将这个公式与计算平行六面体体积的公式对比，我们发现正四面体的体积等于任何与其共三条交于一顶点的边的平行六面体体积的六分之一。

这个三重积可以用下列行列式表示：

${\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{vmatrix}}}$  或者 ${\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{vmatrix}}}$  这里像 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\,}$  可以被表示为横或纵向量。

因此

${\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}}$  这里 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma }}$  等。

这样，我们能给出：

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}$ 

这里α、β、γ是以d为顶点的平面角。角α是连接顶点d和顶点b、c的棱之间的夹角，而β是d到a、c棱的夹角，γ是d到a、b棱的夹角。

如果我们已知四面体四个顶点之间相互的距离，那么其体积可用Cayley–Menger行列式（英语：Cayley–Menger determinant）表示：

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$ 

这里下标${\displaystyle i,\,j\in \{1,\,2,\,3,\,4\}}$ 代表顶点{a, b, c, d}，而${\displaystyle \scriptstyle d_{ij}}$ 是两两顶点之间的距离，亦即连接着两顶点之间棱的长度。如果行列式是零或是负数这意味着我们不可能用该给定的4个长度来构建一个四面体。这个公式，亦被称作塔塔利亚公式，被15世纪的画家皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡认为是极其重要的，它被看作是1世纪的三角形面积海伦公式的三维类比。^[5]

海伦公式形态的四面体体积公式

如果U、V、W、u、v、w是四面体的六条边长（U、V、W构成四面体的其中一个三角形面，而u是与U相对的棱，v是与V相对的棱，w是与W相对的棱），则四面体体积^[6]

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$ 

这里

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$ 

利用四面体边之间的距离

四面体两条相对的边处于两条互相歪斜（在三维空间中既不相交也不平行，等价于异面）的直线上，所以四面体相对边之间的距离就被定义为其所在互相歪斜的直线之间的距离。设d是四面体相对的边a 和 b − c之间的距离，则四面体的另一个体积公式是：

${\displaystyle V={\frac {d|[\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} ]|}{6}}.}$ 

关于四面体性质的其它向量公式

如果OABC四点能够构成一个四面体，并且O点位于我们所定的空间直角坐标系的原点，而向量a、b、c代表着顶点A、B、C相对于O的位置，则四面体内切圆半径可表示为：（在以下的公式中，像a²这样的向量的平方代表着数量积a·a，b²和c²也是这样）

${\displaystyle r={\frac {6V}{|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}}\,}$ 

外接圆半径可表示为：

${\displaystyle R={\frac {|\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{12V}}\,}$ 

于是我们可知十二点圆半径为：

${\displaystyle r_{T}={\frac {|\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{36V}}\,}$ 

这里V是四面体的体积：

${\displaystyle 6V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.\,}$ 

四面体的各种中心的位置向量是： 形心：

${\displaystyle \mathbf {G} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} }{4}}.\,}$ 

内心：

${\displaystyle \mathbf {I} ={\frac {|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\,\mathbf {a} +|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |\,\mathbf {b} +|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |\,\mathbf {c} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} +\mathbf {c} \times \mathbf {a} +\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}.\,}$ 

外心：

${\displaystyle \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}}.\,}$ 

蒙日点：

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} +\mathbf {a} )(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}}.\,}$ 

欧拉线上的中心之间的关系是：

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {M} +{\frac {1}{2}}(\mathbf {O} -\mathbf {M} )\,}$ 

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {M} +{\frac {1}{3}}(\mathbf {O} -\mathbf {M} )\,}$ 

这里T是十二点心。 在这里，我们还有：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {a^{2}} }{2}}\quad \quad \mathbf {b} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {b^{2}} }{2}}\quad \quad \mathbf {c} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {c^{2}} }{2}}\,}$ 

和：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )}{2}}\quad \quad \mathbf {b} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} +\mathbf {a} )}{2}}\quad \quad \mathbf {c} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )}{2}}.\,}$ 

对称变换群

以下列表示出了对应四面体的图案，相同颜色的棱在等距同构对称变换中是等价的，而灰色则代表着条边是不同于任何另外一边的。

四面体正弦定理和所有形状四面体所构成的空间

通过通常的三角形正弦定理，我们可以得到一个自然的推论，即在以O、A、B、C为顶点的四面体中，有

${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,}$ 

这个等式的两边可以被看作分别是顺时针取向的角的正弦乘积和逆时针取向角的正弦乘积。

通过将不同的顶点置于上式中O点的位置，我们可以得到4个这样的等式，但实际上，只有最多3个等式是独立的，因为我们可以将这3个等式的“顺时针边”和“逆时针边”分别相乘，得到一个新的等式，再消去相同的因式，这样就能够通过这3个等式得到第4个等式。

三个角能属于同一个三角形当且仅当这三个角之和为180°（π弧度）。那么，12个角要满足什么充分必要条件，才能使其为一个四面体表面的12个角呢？首先，我们知道，四面体4个面每个面上的3个角之和都要为180°。因为我们对于这12个角有4个这样的限制，四面体12个角的取值自由度（统计学）从12降到了8。进一步地，四面体角的4个正弦定理又降低了自由度，但不是降到4而是降到了5，因为第4个四面体正弦定理并不是相对于前3个独立的。因此，我们只要确定了四面体12个表面角中的任意5个角，则这个四面体就被唯一确定了，因此，我们可以用五维空间中的点来描述所有的四面体，也就是说，所有形状四面体构成的空间是五维的。

更广义地说，四面体泛指所有由四个面构成的多面体。若其在欧氏空间、实数空间、构成面都是平面且未退化的情况下仅有可能是正四面体或三角锥。然而在上述条件不满足的情况下，有可能可以建构出不同拓朴结构的四面体，例如皮特里立方体，其由4个扭歪六边形构成，但由于其构成面是一种扭歪多边形，无法确定其封闭范围及面积，因此无法存在体积与表面积；而退化的四面体例子如四面形、八面体半形和二角柱等。

三角锥

在几何学中，三角锥是一种底面为三角形的锥体，这种锥体所有形式都与四面体有相同的拓朴结构。根据角锥的定义，其由一个底面和一个顶点组成，底面的顶点与底面外的顶点相连接，形成与底面边数相同数量的三角形侧面。而三角锥是指底面为三角形的角锥，因此其会有3个侧面，合计共4个面，且皆为三角形，因此结构基本上与四面体等价，皆为由四个三角形合成的立体。由于底面和侧面皆为三角形，因此视为三角锥时，可以任一面为底，因此词汇“三角锥”与“四面体”有时会被视为同义词^[1]。

正三角锥

虽然“三角锥”与“四面体”有时会被视为同义词^[1]，但前方加一个“正”字就不一定了，例如正三角锥可以指底面为正三角形的角锥，在这个定义下则是要求四面体的其中一个面要是正三角形；而正四面体则要求四个面都要是正三角形。

二角柱

二角柱是指底面为二角形的柱体，由于其底面为二角形，因此在欧几里得空间中，其已经退化无法拥有体积。在球面几何学中，其可以作为球面镶嵌，此时的二角柱由两个球面二角形和两个球面四边形构成，等价于二角形二面体经截角变换后的结果，因此又可称为截角二角形二面体。这种二角柱共有4个面、6条边和4个顶点，对偶多面体为双二角锥。

双二角锥

双二角锥是以二角形为底的双锥体，为二角柱的对偶多面体。由于其以二角形为底，因此在欧几里得空间中，其已经退化无法拥有体积。在球面几何学中，其可以作为球面镶嵌，这种双二角锥可以视为多了两个顶点的四面形。双二角锥由4个面、6条边和4个顶点组成，其四个面都是三角形，但拓扑结构与非退化的凸四面体不同，其中的两个顶点为对跖点，剩下的两个顶点位于赤道面上连结与对跖点相连的两条边。

八面体半形

八面体半形也是一种四面体，可透过将正八面体对映映射后而获得，它有着正八面体一半的面。 它也可以视为没有底面的正四角锥，算是一种非严格的锥体，换句话说，其为正八面体的一半^[7]。

四面形

在几何学中，四面形是一种基底为四边形的多面形，由4个月牙形或球弓形组成的球面镶嵌，并且使得每一个月牙形或球弓形共用相同的两个顶点。其在施莱夫利符号中用 {2,4} 表示^[8]。其亦可以视为由球面正二角形组成的球面镶嵌图，又称为四阶二角形镶嵌或四阶二边形镶嵌。

四面形是一种退化的四面体，无法拥有体积，由四个二角形组成。在球面几何学中，四面形可以在球面上以镶嵌的方式存在，其对偶多面体是四边形二面体。

四面形由四个二角形组成，每个顶点都是四个二角形的公共顶点。正四面形的每个面都是正二角形，且每个顶点都是四个正二角形的公共顶点，因此正四面形也可以视为一种正多面体，但是因为其已退化，因此不会与帕雷托立体一同讨论。

四面形具有D_4h, [2,4], (*224)的对称性和D₄, [2,4]⁺的旋转对称性，且阶数为16，在考克斯特符号中用     表示，其对称性与四角柱相同，因此四角柱也可以视为一种与四面形相关的立体，因为四角柱可以经由四面形透过截角变换构造。

四面体列表

任意非退化的四面体皆是三角锥的一种，因此与其它的锥体有相似的关连。

• 正四面体
• 截角四面体
• 四面体数

• 埃里克·韦斯坦因. Tetrahedron. MathWorld. 
• Free paper models of a tetrahedron and many other polyhedra（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron（页面存档备份，存于互联网档案馆） that also includes a description of a "rotating ring of tetrahedra", also known as a kaleidocycle.