展开图

在几何学中，展开图是指将几何形状的面沿着边接合，并不重叠地呈现在同一个平面上。以多面体为例，多面体的展开图就是将多面体的表面在平面上摊平后得到的图形。多面体的展开图对多面体和一般立体几何的研究很有帮助，因为有了展开图就能使用薄纸板等薄片的材料来制作对应立体图形或多面体的物理模型。[1]

正十二面体的展开图
立方体的11种展开图

展开图的实例最早出现在阿尔布雷希特·丢勒的作品中，在其1525年出版的《用圆规和尺子进行测量艺术课程》（Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd）中呈现了帕雷托立体和阿基米德立体的展开图。[2]

展开图可以推广到其他维度中，也就是将几何结构的维面沿着维脊接合，并不重叠地呈现在同一个比该几何形状少一个维度的平坦空间上，例如四维空间的超立方体可以展开为三维空间的8连立方体。[3]

存在性和唯一性

对于给定的多面体，可以存在许多不同的展开图，具体取决于选择哪些边相连接或者分离。从凸多面体之边切割形成展开图的边连接方式必定来自多面体面与边的生成树，然而不是所有的生成树都能形成展开图——部分的生成树所展开的图形可能会相互重叠而无法形成展开图。[4]相反的，给定的展开图可能可以折成不同的几何体，这取决于其边折叠的角度以及黏合边的选择。[5]若同时给定展开图与边的黏接方式，从而使得得到的形状每个顶点都有正的角亏，且角亏的总和正好是4π，那么这个展开图与边的黏接方式恰好可以折叠成唯一的多面体，这个现象称为亚历山德罗夫唯一性定理（英语：Alexandrov's uniqueness theorem）。然而，以这种形式构成的多面体，可能会有与存于展开图上之面不一样的面，比如展开图中的多边形中可能有折叠或者部分位于展开图中的面仍保持展开的状态。此外，同一个展开图也可能存在多种有效的黏合模式，导致折叠出的几何体不同。[6]

未解决的数学问题：是否每个凸多面体都有至少一个展开图或简单的边展开方式？  

1975年，杰弗里·科林·谢泼德（英语：Geoffrey Colin Shephard）在展开图的议题上提出了一个问题，指出是否每个凸多面体都有至少一个展开图或简单的边展开方式。[7]这个问题目前是一个未解决的数学问题，也被称为丢勒猜想、或丢勒的展开问题。[8][9][10]目前已知有不存在展开图的非凸多面体，且细分每个凸多面体的每个面（如沿边切割）并分析分割集合来判断是否存在展开图是可以做到的。[4]2014年，穆罕默德·戈米（Mohammad Ghomi）展示了每个凸多面体在经过仿射变换后都能给出一个展开图[11]。

 
将正十二面体展开为展开图与折叠回去的连续动画

另一个与展开图相关的开放性问题是：每个展开图是否都有一个折叠成多面体的连续过程，且在该过程中面不会互相穿插，同时所有面在过程中都保持平坦。[12]

最短路径

多面体表面上两点的最短路径对应于路径所接触的面在合适展开图上的直线。所谓合适的展开图是指直线完全包含于展开图中，没有过展开图的边界或中断，可能需要考虑多种展开方式所得的展开图才能得知哪个展开图能给出最短路径。以立方体为例，若两点位于立方体的相邻面上，则可能的最短路径是穿过其公共边的一个路径，对应到同样两个面相连的展开图中，也能找到这条路径。最短路径的其他可能结果也包括了穿过与这两个面共同相邻的第三面的路径，哪条才是最短路径可以看该路径在合适的展开图上是否为直线，并比较其距离来决定。[13]

蜘蛛和苍蝇问题是一个在长方体上两点之间找到最短路径的娱乐数学谜题。[14]

 
蜘蛛和苍蝇问题

其他维度的展开图

展开图可以推广到其他维度中，也就是将几何结构的维面沿着维脊接合，并不重叠地呈现在同一个比该几何形状少一个维度的平坦空间上。以二维空间为例，我们可以把一个多边形的边划成一条直线，并标记顶点，该直线的长度就是多边形的周长，就是多边形的展开，这是展开图在二维空间的类比。

 
五边形的展开与折叠连续动画
 
四维超正方体的展开图

更精确地说，就是将一个n维几何体展开到n-1维平坦空间中。同理，以四维空间为例，多胞体也能用同样的概念制成展开图，也就是将其胞以面做分割，展开成三维空间中胞与胞之间以面连接的几何结构。例如四维超正方体可以展开为达利十字，这种形状出现在萨尔瓦多·达利1954的画作《耶稣受难》上[15]:72[16]，同样的形状也是罗伯特·海莱因1940年的短篇小说《—且他建造了一座歪曲的房子—（英语："—And_He_Built_a_Crooked_House—"）》剧情的核心。[17]

 
四维超正方体的展开与折叠连续动画

在五维空间中的多胞体也可也展开于四维空间中。更高维度则同理。以超方形为例，n维超方形的展开图组合的数量可以通过将这些展开图表示为2n个节点上的树来寻找。该树描述了超方形的成对维面粘合在一起形成展开图的模式，以及描述折叠超方形上彼此相对的维面组之树的补图上的完美匹配。以用这种计算方式的维度为2、3、4、...的超方形不同展开图的数量为：

1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228, ...[18]

例子

 
立方体 		 
截角立方体 		 
截半截角二十面体
 
超立方体 		 
截角超立方体 		 
正二十四胞体

参见

参考文献

  1. ^ Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1971 
  2. ^ Dürer, Albrecht, Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd, Nürnberg: München, Süddeutsche Monatsheft: 139–152, 1525 .
  3. ^ Unfolding an 8-cell. Unfolding.apperceptual.com. [2018-01-21]. （原始内容存档于2018-07-25）. 
  4. ^ 4.0 4.1 Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra（英语：Geometric Folding Algorithms）, Cambridge University Press: 306–338, 2007 
  5. ^ Malkevitch, Joseph, Nets: A Tool for Representing Polyhedra in Two Dimensions, Feature Columns (American Mathematical Society), [2014-05-14], （原始内容存档于2009-01-22） 
  6. ^ Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Lubiw, Anna; O'Rourke, Joseph, Enumerating foldings and unfoldings between polygons and polytopes, Graphs and Combinatorics（英语：Graphs and Combinatorics）, 2002, 18 (1): 93–104, MR 1892436, S2CID 1489, arXiv:cs.CG/0107024  , doi:10.1007/s003730200005 
  7. ^ Shephard, G. C., Convex polytopes with convex nets, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1975, 78 (3): 389–403, Bibcode:1975MPCPS..78..389S, MR 0390915, doi:10.1017/s0305004100051860 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (编). Shephard's Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  9. ^ Moskovich, D., Dürer's conjecture, Open Problem Garden, June 4, 2012 [2022-08-12], （原始内容存档于2017-06-02） 
  10. ^ Ghomi, Mohammad, Dürer's Unfolding Problem for Convex Polyhedra, Notices of the American Mathematical Society, 2018-01-01, 65 (1): 25–27, doi:10.1090/noti1609   
  11. ^ Ghomi, Mohammad, Affine unfoldings of convex polyhedra, Geom. Topol.（英语：Geometry & Topology）, 2014, 18 (5): 3055–3090, Bibcode:2013arXiv1305.3231G, S2CID 16827957, arXiv:1305.3231  , doi:10.2140/gt.2014.18.3055 
  12. ^ Miller, Ezra; Pak, Igor, Metric combinatorics of convex polyhedra: Cut loci and nonoverlapping unfoldings, Discrete & Computational Geometry（英语：Discrete & Computational Geometry）, 2008, 39 (1–3): 339–388, MR 2383765, doi:10.1007/s00454-008-9052-3   
  13. ^ O’Rourke, Joseph, How to Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami and Polyhedra, Cambridge University Press: 115–116, 2011, ISBN 9781139498548 
  14. ^ Weisstein, Eric W. (编). Spider and Fly Problem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [1 March 2019]. （原始内容存档于2022-10-06） （英语）. 
  15. ^ Theoni Pappas, 陈以鸿译. 《數學放輕鬆》. 台北县新店市: 世茂出版社. 2004. ISBN 9577766110. 
  16. ^ Kemp, Martin, Dali's dimensions, Nature, 1 January 1998, 391 (6662): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, S2CID 5317132, doi:10.1038/34063   
  17. ^ Henderson, Linda Dalrymple, Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension, Emmer, Michele (编), Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics, Springer International Publishing: 69–84, November 2014, doi:10.1007/978-3-319-01231-5_7 
  18. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A091159 (Number of distinct nets for the n-hypercube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

外部链接