四维超正方体

在四维欧几里得空间的标准四维方体是点(±1, ±1, ±1, ±1)的凸包。它包含了点：

${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\,:\,-1\leq x_{i}\leq 1\}}$ 

四维方体由八个超平面(x_i = ±1)包围。两两非平行超平面相交，共形成四维方体的24个正方形面。每条棱有3个立方体和3个正方形相交。在每一顶点有4个立方体、6个正方形和4条棱相交。四维方体共有8个立方体、24个正方形、32条棱和16个顶点。边长为a的四维超正方体超体积是a⁴，表体积是8a³。

若一个四维超立方体的棱长为1，则其外接超球半径为1，外中交超球（经过超立方体各棱中点的三维超球）半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ，内中交超球（经过超立方体各面中心的三维超球）半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ，内切超球半径为${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 。事实上，对于任意一个棱长为a的n维超方形，其自身中心到任意一个k维元素的中心的距离为${\displaystyle {\frac {a{\sqrt {n-k}}}{2}}}$ 。

四维方体的每一顶点与4条棱相邻，所以四维方体的顶点图是正四面体。所以四维方体的施莱夫利符号是{4,3,3}，前面两个数字{4,3}代表其维面为立方体、后面两个数字{3,3}代表其顶点图为正四面体。其对偶多胞体是正十六胞体，施莱夫利符号是{3,3,4}。对偶多胞体维面与顶点图交换，正十六胞体的维面变为正四面体、顶点图变为立方体。

对称群构造

作为一个超方形，超立方体可被识别为不同对称群的多胞体：首先，它是四维的超方形——一个凸正多胞体——四维超立方体，对应施莱夫利符号{4,3,3}，考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）为       ，对应考克斯特BC4平面（即超方形—正轴形对应的考克斯特平面（英语：Coxeter Plane）），具有超正八面体对称性（英语：Hyperoctahedral group#By dimension）（又叫正十六胞体对称性），阶为384。同时，它也可被看作是立方体的四维棱柱，对应施莱夫利符号{4,3}×{}，考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）       ，这个对称群的阶只有96。并且，它还是四维以上高维才有的两个二维以上多胞形的欧拉乘积——四维柱体柱的一个，即4-4柱体柱，是两个正方形的乘积，对应施莱夫利符号{4}×{4}，考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）为       ，群阶64。它还是正四棱柱棱柱{4}×{}×{}，       ，群阶32。它还是线段棱柱棱柱棱柱{}×{}×{}×{}，       ，群阶16。

投影

二维投影

超正方体的构造方法可以通过以下方式来想象：

• 零维：因为任何一点放大都是一条直线，所以任何一点都是属于一维空间，而不属于零维空间。
• 一维：两个点A和B可以被连接起来，我们就得到一个新的线段AB。
• 从一维到二维：两个平行的线段AB和CD可以被连接起来，我们就得到了一个正方形，以顶点为标记记作正方形ABCD。
• 从二维到三维：两个平行的正方形ABCD和EFGH可以被连接起来，我们就得到了一个立方体，以顶点标记为立方体ABCDEFGH。
• 从三维到四维：两个平行的立方体ABCDEFGH和IJKLMNOP可以被连接起来，我们于是就得到了一个超正方体，以顶点标记为超正方体ABCDEFGHIJKLMNOP。

四维方体的结构不易想象，但可以投射至3维或2维空间。在我们将其投影到二维空间中后，把顶点位置调整，可以了解更多。如此获得的图像，不再反映四维方体空间构造，而是反映顶点间的联系。以下给出一些例子。

第一幅图显示四维方体本质上从结合2个立方体，连结对应顶点得来。第二幅图反映出四维方体每条边等长，也可以看出立方体如何互相连结。第三幅图按著每一顶点由最底一顶点出发沿着棱走的长度排列。如果我们是要将超正方体用作在并行计算中连接不同处理器网络拓扑基础，则这些图像会非常有用。在超正方体中任意两个顶点之间之间至多有4中不同的路程，并且这里有许多路径是等同的。
超正方体还是一个二分图，就像正方形和立方体一样。

三维投影

透视投影

二维线架投影

• 多胞形（Polytope）
• 超正方体（Hypercube）
• 四维多胞体（Polychoron）
• 四维凸正多胞体（Convex regular polychoron）
• 四维均匀多胞体（英语：Uniform_4-polytope）
• 维度（Dimension）
• 四维空间（Four-dimensional space）
• 胞 (几何)（Cell）
• 五维超正方体（Penteract）

• 埃里克·韦斯坦因. Tesseract. MathWorld. 
• Olshevsky, George, Tesseract at Glossary for Hyperspace.
• Der 8-Zeller (8-cell)（页面存档备份，存于互联网档案馆） Marco Möller's Regular polytopes in R⁴ (German)
• WikiChoron: Tesseract
• HyperSolids is an open source program for the Apple Macintosh (Mac OS X and higher) which generates the five regular solids of three-dimensional space and the six regular hypersolids of four-dimensional space.
• Hypercube 98（页面存档备份，存于互联网档案馆） A Windows program that displays animated hypercubes, by Rudy Rucker
• ken perlin's home page（页面存档备份，存于互联网档案馆） A way to visualize hypercubes, by Ken Perlin
• Some Notes on the Fourth Dimension（页面存档备份，存于互联网档案馆） includes very good animated tutorials on several different aspects of the tesseract, by Davide P. Cervone（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Tesseract animation with hidden volume elimination（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• A Study of Dimensions by Bill Price
• Regular convex four-dimensional polytopes by David Fontaine

1. ^ Unfolding an 8-cell. [2013-08-31]. （原始内容存档于2018-07-25）.