正六百胞体
此条目已列出参考文献,但因为没有文内引注而使来源仍然不明。 (2018年8月13日) |
几何学中,正六百胞体(hexacosichoron)是四维凸正多胞体,施莱夫利符号是{3,3,5},有时候会视为正二十面体的四维类比。
正六百胞体 (600胞体) | |
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类型 | 正多胞体 |
家族 | 类二十面体形 |
对偶多胞形 | 正一百二十胞体 |
识别 | |
鲍尔斯缩写 | ex |
数学表示法 | |
考克斯特符号 | |
施莱夫利符号 | {3,3,5} |
性质 | |
胞 | 600 (3.3.3) |
面 | 1200 {3} |
边 | 720 |
顶点 | 120 |
组成与布局 | |
顶点图 | (3.3.3.3.3) |
对称性 | |
对称群 | H4, [3,3,5] |
特性 | |
凸多胞形, 点可递, 边可递, 面可递 | |
正六百胞体的边界有600个正四面体胞、1200个正三角形面、720条边和120个顶点。每一顶点有20个正四面体相接。
几何性质
正六百胞体的对偶多胞体是正一百二十胞体。
正六百胞体的顶点图是正二十面体。
边长为a的正六百胞体超体积为 ,表体积为50√2a3。
以原点为中心,边长为 1/φ 的正六百胞体(其中φ = (1+√5)/2是黄金比例),顶点坐标如下:16个顶点形式如下
- (±½,±½,±½,±½),
8个顶点从下列坐标不同排列得出
- (0,0,0,±1),
剩下96个顶点是下列坐标的偶置换
- ½(±1,±φ,±1/φ,0)。
如果一个正六百胞体的棱长为1,则其外接超球半径为 即黄金分割比;其外中交超球(经过正六百胞体每条棱的中点)半径为 ;其内中交超球(经过正六百胞体每个面的中心)半径为 ;其内切超球半径为 。
注意到首16个顶点构成超正方体,次8个构成正十六胞体。这24个顶点一起构成正二十四胞体,事实上,如果移除这24个顶点,就会得到另一个有意思的半正多胞体扭棱正二十四胞体(Snub Icositetrachoron)。
对称群构造
如果把坐标看作四元数,正六百胞体的120个顶点以四元数乘法组成群。这个群通常称为双二十面体群,因为它是二十面体群I的双重复盖。这个双十二面体群也可被看作是正六百胞体的旋转(无反射)对称群,因为单位四元数的乘法等同于点的旋转,也因此双十二面体群是H4群的一个子群。双二十面体群同构于特殊线性群SL(2,5)。
正六百胞体的对称群是H4的外尔群,这个群的阶是14400。
可视化
正六百胞体的胞众多,并且这些正四面体胞基本上没有什么规律可循,为正六百胞体的可视化带来了许多困难,但作为正一百二十胞体的对偶,许多正一百二十胞体的性质也表现在正六百胞体上。
大圆结构
正一百二十胞体的10个会首尾相连,构成“大圆”,这些胞与正六百胞体的顶点对偶,它们也会互相连接形成一个正十边形,这正十边形的每一条边周围都有5个正四面体共这条边,这种结构看上去就像有棱有角的飞盘。正十边形相邻的两条棱周围的两簇正四面体中间会有空隙,我们可以在填入10个正四面体使其构成正二十面体,这样你就会得到一个涉及150个胞、10条棱、100个裸露的正三角形面的环形结构,我们还可以在向这些面上填上正四面体,会得到一个涉及250个胞的有50个突出的顶点和100条凹陷的棱的大圆,它与另一条与之正交的250胞环在顶点处咬合,剩余的棱的空隙是剩余的100个胞。现在,如果我们去掉这两条大圆最初的10个顶点,我们就会得到四维唯一的非Wythoff凸半正多胞体——重反棱柱,原来的大圆处留下了各10个正五反棱柱,并剩下了300个正四面体胞。
参考
- 600-cell (页面存档备份,存于互联网档案馆) 逐层剖析了正六百胞体的表分层结构
- Regular Convex Four-Dimensional Polytopes[永久失效链接]提供了正六百胞体的几何数据
四维正多胞体 | |||||
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正五胞体 | 超立方体 | 正十六胞体 | 正二十四胞体 | 正一百二十胞体 | 正六百胞体 |
{3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |