正轴形
在几何学中,正轴形,或称交叉形[1]、正交形[2]、超正八面体、余方形,是一个正的、凸的、存在于任意维度的多胞形。正轴形的顶点坐标都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列,正轴形是这些顶点的凸包。它的(n-1)维表面是(n-1)维的正单纯形,而正轴形的顶点图是前一维的另一正轴形。
n维正轴形也可以用在Rn中ℓ1-赋范下的单位球(或者,对于某些学者,单位球面)来定义;
在一维,正轴形就是线段 [−1, +1],在二维它是正方形(或叫做正菱形),有顶点{(±1, 0), (0, ±1)。在三维它是正八面体—五个正多面体,即柏拉图立体之一。更高维的正轴形总结如下:
二维 正方形 |
三维 正八面体 |
四维 正十六胞体 |
正轴形是超方形的对偶多胞形。n维正轴形的一阶骨架是Turán图T(2n,n)。
四维
四维正轴形也被叫做正十六胞体。它是6个四维凸正多胞体之一。这些多胞体最先被瑞士数学家路德维希·施莱夫利在19世纪中期描述过。
更高维
正轴形家族是三个延伸至正无穷维的正多胞形家族之一,考克斯特将其标记为βn,另外两个是超方形家族,记为γn,以及单纯形家族,记为αn第四个非凸多胞形的家族,超方形密铺家族,他将其标记为δn。
n维正轴形有2n个顶点,及2n个全都是(n−1)-单纯体的维面(n−1 维组成元素)。它的顶点图 都是n − 1维的正轴形。正轴形的施莱夫利符号是{3,3,…,3,4}。n-维正轴形的二面角是
- .
n-维正轴形的k-维组成元素(顶点、棱、面、…、维面)的个数由以下公式给出(见二项式系数):
n-维正轴形的超体积为:
这里有许多能够以二维图像展示正轴形的正交投影,皮特里多边形投影是常用的一种投影,将其顶点,投影到一个2n边形或更低阶的正多边形上。第二次的投影再投影于更低维中的2(n-1)边皮特里多边形,例如双角锥,我们可将其沿主轴投影,两个顶点被投影到了投影的中心。
n | βn k11 |
名称 图像 |
图像 2n边形 |
图像 2(n-1)边形 |
施莱夫利 符号 |
考克斯特- 迪肯符号 |
顶点 | 棱 | 面 | 胞 | 4-表面 | 5-表面 | 6-表面 | 7-表面 | 8-表面 | 9-表面 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | β1 | 线段 1-正轴体 |
{} | |
2 | ||||||||||||
2 | β2 −111 |
正方形 2-正轴体 二维正轴体 |
{4} {}+{} |
|
4 | 4 | |||||||||||
3 | β3 011 |
正八面体 3-正轴体 三维正轴体 |
{3,4} {30,1,1} {}+{}+{} |
|
6 | 12 | 8 | ||||||||||
4 | β4 111 |
正十六胞体 4-正轴体 四维正轴体 |
{3,3,4} {31,1,1} 4{} |
|
8 | 24 | 32 | 16 | |||||||||
5 | β5 211 |
5-正轴体 五维正轴体 |
{33,4} {32,1,1} 5{} |
|
10 | 40 | 80 | 80 | 32 | ||||||||
6 | β6 311 |
6-正轴体 六维正轴体 |
{34,4} {33,1,1} 6{} |
|
12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | |||||||
7 | β7 411 |
7-正轴体 七维正轴体 |
{35,4} {34,1,1} 7{} |
|
14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | ||||||
8 | β8 511 |
8-正轴体 八维正轴体 |
{36,4} {35,1,1} 8{} |
|
16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | |||||
9 | β9 611 |
9-正轴体 九维正轴体 |
{37,4} {36,1,1} 9{} |
|
18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | ||||
10 | β10 711 |
10-正轴体 十维正轴体 |
{38,4} {37,1,1} 10{} |
|
20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | |||
... | |||||||||||||||||
n | βn k11 |
n-正轴体 n维正轴体 |
{3n − 2,4} {3n − 3,1,1} n{} |
... ... ... |
2n 0-表面, ... k-表面 ..., 2n (n-1)-表面 |
等轴正轴形的顶点在曼哈顿距离下,任意两点之间的距离都是相等的(L1赋规)。库斯纳猜想即是说这个由2d 个点组成的集合是在这距离下最大的等距集。[3]
另见
- 正图形
- 超正八面体对称群,正轴形的对称群。
注释
参考
- Coxeter, H. S. M. 正多胞形 第3版. 纽约: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, 表 I (iii): Regular polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. Cross polytope. MathWorld.
- Polytope Viewer[失效链接] (点击<polytopes...>来选择正轴形。)
- Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.