五维正轴体

五维正轴体是五维超正方体的对偶，施莱夫利符号{3,3,3,4}意味着每个维脊（即面）处有4个正五胞体相交，顶点处都有16个正五胞体相交，顶点图是正十六胞体，每条棱处都有8个正五胞体相交，棱图是正八面体。对于边长为a的五维正轴体，其超胞积为${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}a^{5}}{30}}}$ ，表胞积是${\displaystyle {\frac {16a^{4}}{3}}}$ 。

顶点坐标

以中心为原点建立四维直角坐标系，则以√2为棱长的正三十二超胞体顶点坐标为 (±1,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0), (0,0,±1,0,0), (0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,±1)

对称性及结构

五维正轴体作为五维的正轴形，与五维超正方体对偶，拥有BC₅（立方形-正轴形对称性），对应施莱夫利符号{3,3,3,4}，考斯特-迪肯符号         。同时，它也可被看作是正五胞体反棱柱（即上下两正五胞体呈对偶式排列，再由正五胞体链接1个正五胞体的顶点和另一正五胞体的正四面体胞形成的棱柱），具有更低的对称性D₅，对应施莱夫利符号[3^2,1,1] 。如果我们把其对偶五维超立方体看做低对称性的五维超长方体的话，其亦可被看作是五维的长菱体（英语：rhombic fusil），可能有多种不同对称性。

正三十二超胞体可以以不同角度平行投影到不同的考克斯特平面（英语：Coxeter plane）上：

• H.S.M. 考克斯特:
  • H.S.M. 考克斯特, Regular Polytopes, 第三版, Dover New York, 1973
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss参与编辑, Wiley-Interscience Publication, 1995, 互联网档案馆）
    • (Paper 22) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• 诺曼·约翰（英语：Norman Johnson (mathematician)） Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W.约翰: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o4o - tac. bendwavy.org. 

• Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.
• Polytopes of Various Dimensions（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Multi-dimensional Glossary（页面存档备份，存于互联网档案馆）