二面角

一条直线和两个半平面的并集组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

由直线 ${\displaystyle l}$  、半平面 ${\displaystyle \alpha }$  和半平面 ${\displaystyle \beta }$  组成的二面角，记作：“二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$  ”，也可记作“${\displaystyle ^{2}\angle l}$ ”。

也可在直线 ${\displaystyle l}$  外、半平面 ${\displaystyle \alpha }$  和半平面 ${\displaystyle \beta }$  内，分别取点${\displaystyle P}$ 和点${\displaystyle Q}$ ，将这个二面角记作“二面角${\displaystyle P-l-Q}$ ”。

在 二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$  的棱 ${\displaystyle l}$  上任取一点${\displaystyle O}$ ，以点${\displaystyle O}$ 为垂足，在半平面 ${\displaystyle \alpha }$  和 ${\displaystyle \beta }$  内分别作射线 ${\displaystyle OA}$  和射线 ${\displaystyle OB}$  垂直于棱 ${\displaystyle l}$  ，那么射线${\displaystyle OA}$  和射线${\displaystyle OB}$  所构成的 ${\displaystyle \angle AOB}$  叫做二面角的平面角。^[2]

在非解析几何方法中，常通过建立二面角的平面角，通过求出平面角的大小，来求出二面角的大小：

${\displaystyle \because AB\perp OB}$ 

${\displaystyle \therefore OB}$  为${\displaystyle OA}$ 在平面 ${\displaystyle \beta }$  中的射影。

${\displaystyle \because OA\perp l,OB\perp l}$ 

${\displaystyle \therefore \angle AOB}$  是二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$  的平面角。

若两个相交平面在笛卡尔坐标中的方程分别为

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$ 

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,\,,}$ 

则它们之间的二面角 ${\displaystyle \varphi }$  为：

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}\,\,.}$ 

另一种方法是计算两个平面的法向量n_A和n_B之间的夹角：

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,\,,}$ 

其中n_A • n_B是两个向量的点积，|n_A| |n_B|是两个向量的模的乘积。^[3]

任何平面也可以由位于该平面的两个非共线向量来描述；他们的叉积是平面的法向量。因此，二面角可以由三个向量b₁、b₂和b₃定义，形成两对非共线向量：^[4]

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left({\big (}[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\times [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]{\big )}\cdot {\frac {\mathbf {b} _{2}}{|\mathbf {b} _{2}|}}\,\,,\,\,[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\cdot [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]\right)\,\,,}$ 

其中atan2是二个参数的反正切函数变体，一般而言，atan2(y, x) 等价于 atan(y/x)。

在化学中，扭转角（英语：torsion angle）被定义为二面角的特定例子，描述了通过化学键连接的分子的两个部分的几何关系。^[5][6]

在立体化学中，分子中的每三个（非共线）原子都决定了一个平面。当两个这样的平面相交时，它们之间的角度便是二面角。二面角用于描述具体的分子构象^[7]。角度在0°和±90°之间的立体化学构象被称为syn（s，顺）；在±90°和180°之间的为anti（a，反）。类似地，角度在30°和150°之间或-30°和-150°之间的被称为clinal（c，错），而在0°和±30°或±150°和180°之间的被称为periplanar（p，叠）。

这两种术语可以组合起来，以定义四个角度范围：0°至±30°为顺叠（sp）；30°至90°和-30°至-90°为顺错（sc）；90°至150°和-90°至-150°为反错（ac）；±150°至180°为反叠（ap）。顺叠构象也被称为顺式（syn-或cis-）构象；反叠构象也被称为反式（anti-或trans-）构象；顺错构象也被称为邻位交叉、间扭（gauche或skew）构象。

例如，对于正丁烷，可以用两个中心碳原子和任一个甲基碳原子来分别指定两个平面。本节开头（上图）所示的syn-构象具有60°的二面角，比180°二面角的anti-构象更不稳定。

对于大分子使用，建议使用符号T，C，G⁺，G^-，A⁺和A^-分别表示ap，sp，+sc，-sc，+ac和-ac。^[5]

蛋白质

拉氏图（也称为Ramachandran图或[φ,ψ]图），由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初开发^[8]，是一种形象化蛋白质结构中能量（位阻）允许的氨基酸残基的二面角ψ与φ的关系的方式。右图展示了骨架二面角φ和ψ的定义^[9]（Ramachandran称为φ和φ'）。

在蛋白质链中，三个二面角被定义为φ（phi），ψ（psi）和ω（omega），如图所示。肽键的平面性通常使得ω被限制为180°（典型trans情况）或0°（罕见cis情况）。trans和cis异构体的α-碳之间的距离分别为大约3.8和2.9 Å。cis异构体主要在Xaa-Pro肽键（其中Xaa是任何氨基酸）中观察到。

侧链二面角倾向于聚集在180°，60°和-60°附近，称为trans，gauche⁺和gauche^-构象。某些侧链二面角的稳定性受到φ和ψ值的影响^[10]。例如，当ψ接近-60°时，gauche⁺旋转异构体的侧链中的γ-碳和下一个残基的氮之间就会有直接的位阻相互作用^[11]。

从二面角转换为链中的笛卡尔坐标

在聚合物特别是蛋白质中，常常用内部坐标来描述主链，也即把二面角和键长按照顺序列表。但是，某些类型的计算化学反而使用笛卡尔坐标。在计算结构优化中，一些程序需要在迭代过程中在这些表示法之间来回转换，这项工作可能占用大部分计算时间。对于有很多迭代或长链的过程，它也可能引入累积的数值不准确性。虽然所有的转换算法会产生数学上相同的结果，但它们的运算速度和数字精度不同。^{[12][需要非第一手来源]}

每个多面体在每条边上都有一个二面角，用于描述以该边为公共边的两个面的关系。该二面角也被称为面角，其计算的是多面体的内角。面角0°意味着两个面法向量是反向平行的，而且两个面相互重叠，这意味着它是退化多面体的一部分。面角为180°意味着这些面是平行的，如在镶嵌中。在多面体的凹部，可以存在大于180°的面角，在基础数学二面角的取值范围上有争议目前认为取值为[0，180]。

边传递多面体中的每个二面角大小相同。这包括5个正多面体，4个星型正多面体，两个拟正多面体和两个拟正对偶多面体。

给定一个在共同顶点P上相交且具有边AP、BP和CP的多面体的三个面，包含APC和BPC的面之间的二面角的余弦为：^[13]

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}\,\,.}$ 

• 阻转异构
• 顺反异构

• 木工中的二面角 - Tips.FM
• 5个正多面体的分析（页面存档备份，存于互联网档案馆），给出了这些精确值的逐步推导