康威多面体表示法

康威多面体表示法是用来描述多面体的一种方法。 一般是用种子多面体（seed）为基础并标示对种子多面体做的操作或运算。

此图显示了从立方体上的三种康威多面体表示运算，可产生11种新的多面体。新的多面体投影在正方体上一显示其拓扑变化，以便更清楚。顶点都标有圆圈的所有形式。

种子多面体一般都为正多面体或正多边形密铺，表示的字母则取他们名字的第一个字母，例如:

另外柱体和锥体也可以作为种子，并以它是底面边数加一个字母表示:

  • P = 柱体 （Prism）
  • A = 反棱柱 （Antiprism）
  • Y = 锥体 （Pyramid）
  • J = 詹森多面体 （Johnson solid）

例如种子“P5”是指五角柱、“P10”是指十角柱、“Y6”是指六角锥、“J86”是指球状屋顶、“A86”是指86角反棱柱。

任何凸多面体皆可以当作种子，前提是它可以执行操作或运算。

何顿·康威提出这个想法, 就像开普勒的截角定义,建立相关的多面体相同的对称性。 它的多面体表示法能从正多面体种子表示所有阿基米德立体、半正多面体和卡塔兰立体。 在一系列的应用中，康威多面体表示法可以产生许多高阶多面体。

多面体的运算

下面列出康威多面体表示法中，多面体的运算符号，那些运算通常类似几何变换，并以 (v,e,f) 表示进行该运算或操作后多面体的变化。

基本操作
运算符 范例 运算符号名称 别名 英文名 替代
同构		 顶点 边 面 描述 例子
  原像 Seed v e f 来源种子
d   对偶 dual f e v 产生对偶多面体-每个顶点创建一个新的面，或面的重心当作新的顶点。
a   截半 ambo e 2e 2 + e 边是新的顶点，旧的顶点消失，或将边的中点当作新的顶点。(rectify)
j   会合 join da e + 2 2e e 每个面都加入上当高的锥体，使相邻面的锥体各有一面互相共面，形成四边形。
t   截角 truncate dkd 2e 3e e + 2 截去所有顶点
conjugate kis
k   n角化 kis dtd e + 2 3e 2e 每个面都加入角锥.
i   过截角 双截角 -- dk 2e 3e e + 2 Dual of kis. (bitruncation)
n   -- -- kd e + 2 3e 2e Kis of dual
e   小斜方
扩展（英语：Expansion (geometry)）		 expand aa = aj 2e 4e 2e + 2 在每个顶点建立新的面，并在各边建立四边形。 (cantellate)
o   正交 菱形
筝形
有时作
四角化		 ortho de = ja = jj 2e + 2 4e 2e 每个n边形面被分割成n个四边形。
b   大斜方 bevel ta 4e 6e 2e + 2 加入新的面代替边和顶点 (在高维多胞体称为cantitruncation).)
m   元
 有时作
三角化		 meta db = kj 2e + 2 6e 4e 将n边形的面切割成2n个三角形
扩展操作
运算符 范例 运算符号名称 别名 英文名 替代
同构		 顶点 边 面 描述 例子
  原像 Seed v e f Seed form
r 手性镜像 镜射 reflect v e f 产生手性镜像
h   交错
半*		 half * v/2 e f+v/2 Alternation, remove half vertices,
limited to seed polyhedra with even-sided faces
部分截半
部分截角		 uncompleted
rectifie/truncate 		e 2e 2 + e 对某些条件面截半，其余面截角 tO→
结果
c   倒角 chamfer v + 2e  4e f + e 将边用六边形取代 T→
双倒角 v + 2e  4e f + e 将边用两个五边形取代
-   - dc f + e 4e v + 2e
p   旋转 propellor
(Hart) 		v + 2e 4e f + e 将面旋转，并在顶点建立四边形 (self-dual)
-   - dp = pd f + e 4e v + 2e
s   扭棱 snub dg = hta 2e 5e 3e + 2 “扩大和扭曲” - 每个顶点创建一个面，每条边创建了两个新的三角形
g   陀螺 gyro ds 3e + 2 5e 2e 每个n边形面被切割成n个五边形。
w   旋面 whirl v+4e 7e f+2e 将面旋转，并在顶点建立与原面相似但是旋转的新面
此操作会在边上建立两个六边形
-   - dw f+2e 7e v+4e 旋面的对偶

这些运算符号的运算优先级皆为由右至左。例如：

  • 正四面体的对偶多面体计为 dT;
  • 截角的正方体应计为 t3C 或 tC;
  • 截角的截半立方体应计为 t4aC 或 taC。

所有的操作都保有对称性，除了s和g是扭曲的像并失去了镜射对称。

例子

正方体
"seed" 		截半
 截角 双截角（Bitruncation） 离面
（Cantellation） 		大斜方截半
（Omnitruncation） 		扭棱（Snub）
 
C 		 
aC = djC 		 
tC = dkdC 		 
tdC = dkC 		 
eC = aaC = doC 		 
bC = taC = dmC = dkjC 		 
sC = dgC
对偶 加入锥体
(相邻共面) 		加入锥体
(到外接球) 		正交
(edge-bisect) 		元
(full-bisect) 		陀螺
 
dC 		 
jC = daC 		 
kdC = dtC 		 
kC = dtdC 		 
oC = deC = daaC 		 
mC = dbC = kjC 		 
gC = dsC

生成标准种子

所有的五个正多面体皆可以从棱柱种子经过零至两个运算或操作而产生：

  • 锥体: Y3 (正四面体是一个特别的角锥)
    • T = Y3
    • O = aY3 (截半四面体)
    • C = daY3 (截半四面体的对偶多面体)
    • I = sY3 (扭棱四面体)
    • D = dsY3 (扭棱四面体的对偶多面体)
  • 反柱体: A3 (正八面体是一个特别的反柱体)
    • O = A3
    • C = dA3
  • 柱体: P4 (正方体是一个特别的柱体)
    • C = P4
  • 五角反棱柱: A5
    • I = k5A5 (特殊的双锥反柱体)
    • D = t5dA5 (特殊的截角偏方面体)

康威的符号扩展

上述的运算和操作可以从正多面体种子或柱体锥体的种子产生所有的半正多面体、卡塔兰立体、柏拉图立体和阿基米德立体。 许多多面体都可由高阶的组合操作还表示，但是某些特别的多面体需要更多的符号来表示。

例如，几何艺术家George W. Hart定义他的操作称为"propellor"，和另一个反映创建镜像图像的旋转形式"reflect"。

  • p – "propellor" – 旋转建立四边形于顶点。这个操作的对偶多面体是本身: dpX=pdX。
  • r – "reflect" – 对种子进行镜射变换。一般没已影响，除非有s或g的种子

詹森多面体扩展

为了表达詹森多面体，诺曼·詹森也定义了一些符号来表达它的多面体[1]

  • 下列种子都必须要在后面加注边数:
    • P = 柱体 (Prism)
    • A = 反棱柱 (Antiprism)
    • Y = 锥体 (Pyramid)
    • Q = 帐塔
    • R = 罩帐
    • L = 三面单元组成一个正方形和对立的三角形
    • U = n边形，旁边有三角形交替的边。
    • J = 直接表示詹森多面体，加注的数字代表詹森多面体的编号。
  • 扩展的符号:
    • + = 将符号后的种子加到符号前的种子之适当的面，可省略
    • - = 在符号前的种子上照到跟符号后种子相同的部分并切除之
    • × = 将符号前动作做符号后的次数次，符号后必为常数，可省略
    • () = 将种子括号并指定动作
  • 例如:
    • "Y3P3" = Y3 + P3 = 正三角锥柱
    • "-Q3tT" = -Q3 + tT = tT - Q3 = 侧台塔截角四面体
    • "-(Q5)2eD" = eD - (Q5)×2 = 侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔

其它的扩展

下面扩展符号也可以用于康威多面体表示法，但是在施莱夫利符号中，更为常用。

  • t0,1 = 截角
  • t0,2 = 截边:小斜方截半
  • t0,1,2 = 截边再截角:大斜方截半
  • t0,3 = 截面:向下锯齿(Runcination) : 切割多面体，同时沿面、边和顶点，建立新的面代替原来的面、边和顶点中心。
  • t0,1,3 = 截面再截角
  • t0,2,3 = 截面再截边
  • t0,1,2,3 = 截面再截边再截角
  • t0,4 = 截胞 : 切割多胞体，同时沿胞、面、边和顶点，建立新的胞代替原来的胞、面、边和顶点中心。
  • t1 = 截半
  • t1,2 = 截半再截边:双截角
  • t2
  • h = 交替 alternate

例如:

  • "hC" = 正四面体

几何座标的衍生形式

密铺

例如: 球面的正五边形密铺:正十二面体种子 (D)
 
D 		 
tD 		 
aD 		 
tdD 		 
eD 		 
teD 		 
sD
 
dD 		 
dteD
例如:欧几里得平面的正六边形密铺种子 (H)
 
H 		 
tH 		 
aH 		 
tdH = H 		 
eH 		 
teH 		 
sH
 
dH 		 
dtH 		 
daH 		 
dtdH = dH 		 
deH 		 
dteH 		 
dsH
例如: 双曲面的正七边形密铺 种子 ( {7,3} )
{7,3}
"seed" 		truncate ambo
(rectify) 		bitruncate expand
(cantellate) 		bevel
(omnitruncate) 		snub
 
{7,3} 		 
t{7,3} 		 
a{7,3} 		 
dk{7,3} 		 
e{7,3} 		 
b{7,3} 		 
s{7,3}
dual join kis
(vertex-bisect) 		ortho
(edge-bisect) 		meta
(full-bisect) 		gyro
 
d{7,3} 		 
dt{7,3} 		 
j{7,3} 		 
k{7,3} 		 
o{7,3} 		 
m{7,3} 		 
g{7,3}
例如: 三维空间的正方体密铺 种子 ( {4,3,8} )
{4,3,8}
"seed" 		truncate ambo
(rectify) 		bitruncate expand
(cantellate) 		bevel
(omnitruncate) 		snub
 
{4,3,8} 		 
t{4,3,8} 		 
a{4,3,8} 		 
dk{4,3,8} 		 
e{4,3,8} 		 
b{4,3,8} 		 
s{4,3,8}
dual join
 
d{4,3,8} 		 
dt{4,3,8} 		 
j{4,3,8}

几何体

例如: 透明的 正四面体 种子 (T)
 
T 		 
tT 		 
aT 		 
tdT 		 
eT 		 
bT 		 
sT
 
dT 		 
dtT 		 
jT 		 
kT 		 
oT 		 
mT 		 
gT
例如: 四维空间的 正八胞体 种子 ( {4,3,3} )
 
{4,3,3} 		 
t{4,3,3} 		 
a{4,3,3} 		 
td{4,3,3} 		 
e{4,3,3} 		 
b{4,3,3} 		 
s{4,3,3}
 
d{4,3,3}

其他多面体

迭代简单简单操作的形式，可以产生更大的多面体，并保持基本对称性。顶点被假设是对相同半径的球面。

四面体对称

  • 截角三角化四面体
    "t6dtT"

八面体对称

  • 截角菱形十二面体
    "t4daC"

  • 四角化截半立方体
    "k4aC"

  • 截角五角化二十四面体
    "dk4sC"

二十面体对称

菱形

  • 菱形九十面体
    "dakD"

三角形

  • 五角化十二面体
    "kD"

  • 五角化截半二十面体
    "k5aD"

  • "k6k5tI"

  • 六角化五角化倒角十二面体
    "kt5daD"

  • "kdktI"
    "dtktI"

  • "kdkt5daD"

对偶

  • 截角二十面体
    "dkD"

  • 倒角十二面体
    "t5daD"
    "cD"

  • "dk6k5tI"

  • "dkt5daD"

  • "tktI"

  • "tkt5daD"

手性

  • 五角化六十面体
    "dsD"

  • 五角化扭棱十二面体
    "k5sD"

  • 六角化五角化扭棱截角二十面体
    "k5k6stI"
    "kdk5sD"

手性对偶

  • 扭棱十二面体
    "sD"

  • 截角五角化六十面体
    "dk5sD"

  • "dk5k6stI"
    "tk5sD"

参见

  • 均匀多面体
  • 图形算法
    • Doo–Sabin subdivision surface – expand 扩展变换
    • Catmull–Clark subdivision surface – ortho operator

外部链接和参考文献

  1. ^ 存档副本. [2013年8月1日]. （原始内容存档于2013年6月1日）.