扭棱

康威研究了广义的多面体变换，定义了现在称为康威多面体表示法的多面体变换表示法，其可以运用在多面体和各种镶嵌或密铺的几何形状。康威称考克斯特定义的扭棱变换为半扭棱变换。^[5]

在康威多面体表示法中，扭棱变换（康威表示法：s）被定义为陀螺变换（英语：gyro，康威表示法：g，为每个n边形面被切割成n个五边形的多面体变换）的对偶多面体（康威表示法：d），即康威表示法s = dg = dgd^[6]，其等价于先经截半变换再做截角变换后进行交替截角。康威表示法本身避免了考克斯特的交错（半）变换，因为它仅适用于仅具有偶数边数的面之多面体。

在四维空间中，康威建议将扭棱二十四胞体（英语：Snub 24-cell）称为半扭棱二十四胞体。与三维的扭棱多面体不同，三维的扭棱多面体是交替的全截（omnitruncation，即先截半再截角）的形式，而扭棱二十四胞体并非是正二十四胞体交替的全截的形式。事实上，扭棱二十四胞体是交替截角的正二十四胞体^[7]。

考克斯特扭棱的定义略有不同，其将扭棱定义为截角后交错，在这个定义下，扭棱立方体被视为扭棱后的截半立方体、扭棱十二面体被视为扭棱后的截半十二面体。在这种定义下命名的詹森多面体有扭棱锲形体和扭棱四角反角柱。这种命名在高维多胞体中也有所使用，如扩展施莱夫利符号记为s{3,4,3}，并在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）记为       的扭棱二十四胞体（英语：Snub 24-cell）^[8]。

一个正多面体或镶嵌若在施莱夫利符号记为${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ 且考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）记为     ，则其截角后的像施莱夫利符号记为${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ 、考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）记为     ，若再将这个结果进行交错变换，则其变换后的像施莱夫利符号记为${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ 、考克斯特—迪肯符号记为     。要完成这个交错变换，q必须为偶数^[9]。

一个拟正多面体若在施莱夫利符号记为${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ 或r{p,q}、考克斯特—迪肯符号记为   或     ，则其截角的像施莱夫利符号记为${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ 或tr{p,q}，则这个拟正多面体的扭棱可以定义为交错的截角截半立体${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ 或 htr{p,q} = sr{p,q}，和    or      。

例如，以开普勒的扭棱立方体是扭棱自拟正的截半立方体，而截半立方体的竖式施莱夫利符号记为${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ ^[10]、考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）记为   ，所以扭棱立方体的竖式施莱夫利符号记为${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ ^[11]、考克斯特—迪肯符号记为   。扭棱立方体亦可以视为经过交错变换的截角截半立方体，截角截半立方体的竖式施莱夫利符号记为${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ ^[12]、考克斯特—迪肯符号记为   。^[13]

顶点分支度为偶数的正多面体也可以进行截角后交错的扭棱，例如扭棱八面体，施莱夫利符号${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$ 、考克斯特—迪肯符号     ，其为交错的截角八面体施莱夫利符号${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$ ^[14]、考克斯特—迪肯符号     。八面体在这种定义下的扭棱结果称为伪二十面体，一个拓朴与正二十面体完全相同但具备五角十二面体群对称性的立体^[15]。

考克斯特扭棱也允许将反棱柱的施莱夫利符号定义为${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ ^[16]:403或${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ ，基于n角柱的${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ 或${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ 。其中${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$ 是一个退化的n面形，其可以视为由二角形镶嵌球面的几何结构。

非均匀多面体的扭棱

非均匀多面体也可以扭棱，但需要满足考克斯特扭棱的条件。考克斯特扭棱只能作用在顶点分支度全为偶数的立体上^[13]。这允许了许多多面体的扭棱，包括了无穷集合的立体。例如：

考克斯特的均匀扭棱星形多面体

扭棱均匀星形多面体由其施瓦茨三角形(p q r)构造，具有合理有序的镜像对称角，且所有镜像都处于活动和交替的状态^[17]。

• 扭棱多面体（英语：Snub polyhedron）