正三角形镶嵌
在几何学中,正三角形镶嵌、又称为正三角方格[3]是一种正多边形在平面上的密铺,又称正镶嵌图。
类别 | 正镶嵌 | ||
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对偶多面体 | 正六边形镶嵌 | ||
识别 | |||
鲍尔斯缩写 | trat | ||
数学表示法 | |||
考克斯特符号 | = | ||
施莱夫利符号 | {3,6} {3[3]} | ||
威佐夫符号 | 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 | ||
康威表示法 | dH | ||
特殊面或截面 | |||
梵奥斯截面 | 无限边形[2] | ||
组成与布局 | |||
顶点图 | 3.3.3.3.3.3(或36) | ||
顶点布局 | 36 | ||
对称性 | |||
对称群 | p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333) p3, [3[3]]+, (333) | ||
旋转对称群 | p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333) | ||
图像 | |||
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命名
康威称正三角形镶嵌为deltille。deltille一词来自于外形为三角形的希腊字母 Delta (Δ),有时也称作六角化正六边形镶嵌。
性质
由于正三角形镶嵌是由正三角形组成,又因正三角形内角为60度,因此每个顶点周围都有6个三角形,且刚好占满360度。
正三角形镶嵌在施莱夫利符号中,用{3,6}表示。
正三角形镶嵌是三个的平面正镶嵌图之一。另外两个是正方形镶嵌和正六边形镶嵌。
一般将画在纸上的正三角方格称作正三角格纸[3],正三角格纸是用来画三维立体图或三维透视图用的。使用正三角格纸作图会比较容易做出三维立体图或三维透视图,而且图形看起来比较接近三维[3]。
上色的正三角形镶嵌
正三角形镶嵌有九种不同的上色方式,他们依顶点周为颜色数来命名: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。
上色 索引 |
111111 | 121212 | 121314 | 121213 |
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图示 | ||||
上色 | ||||
对称群 | *632 (p6m) [6,3] |
*333 (p3m1) [3[3]] = [1+,6,3] |
333 (p3) [3[3]]+ |
3*3 (p31m) [6,3+] |
Wythoff符号 | 6 | 3 2 | 3 | 3 3 | | 3 3 3 | |
考克斯特符号 | = |
A2晶格和圆堆砌
正三角形镶嵌的顶点排布被称作A2晶格[4]。正三角形镶嵌是单纯形堆砌家族的二维成员。
A2*晶格(又称A23),可由所有3种A2晶格组合得来,就等价于A2晶格。
- + + = 的对偶 =
以正三角形镶嵌的顶点为圆心,我们可以得到二维的最密圆堆砌,每个圆都与6个相邻圆接触(接触数),堆砌密度为 或90.69%。由于3个A2晶格组合还是A2晶格,这种圆堆砌种的圆可被涂成三种颜色。
A2晶格的沃罗诺伊图是正六边形镶嵌,它也是正三角形镶嵌的对偶。因此,正六边形镶嵌也与最密圆堆砌有直接的对应关系。
A2晶格圆堆砌 | A* 2晶格圆堆砌 |
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正六边形镶嵌 | |
相关半正镶嵌
对称性: [6,3], (*632) | [6,3]+, (632) | [1+,6,3], (*333) | [6,3+], (3*3) | |||||||
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{6,3} | t0,1{6,3} | t1{6,3} | t1,2{6,3} | t2{6,3} | t0,2{6,3} | t0,1,2{6,3} | s{6,3} | h{6,3} | h1,2{6,3} | |
半正对偶 | ||||||||||
V6.6.6 | V3.12.12 | V3.6.3.6 | V6.6.6 | V3.3.3.3.3.3 | V3.4.12.4 | V.4.6.12 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.3.3 |
从六边形镶嵌可利用“交错”操作将六边形镶嵌变成三角形镶嵌。
球面镶嵌 | 多面体 | 欧式镶嵌 | 紧凑双曲镶嵌 | 仿紧空间 | 非紧空间 | ||||
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n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ∞ | ||
2n边形镶嵌 | {2,3} | {4,3} | {6,3} | {8,3} | {10,3} | {12,3} | {∞,3} | {iπ/λ,3} | |
交错2n边形镶嵌 | h{2,3} |
h{4,3} |
h{6,3} |
h{8,3} |
h{10,3} |
h{12,3} |
... | h{∞,3} |
h{iπ/λ,3} |
相关
参考文献
阅读
- Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
- 埃里克·韦斯坦因. Triangular Grid. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Regular tessellation. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Uniform tessellation. MathWorld.
- Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2. bendwavy.org.
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p35
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
- Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481