酉矩阵

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在线性代数中，酉矩阵（又译作幺正矩阵，英语：unitary matrix）指其共轭转置恰为其逆矩阵的复数方阵，数学描述如下：

（数学定义）

U^{*}U=UU^{*}=I_{n}

，

（推论）

U^{-1}=U^{*}

。

其中 $U *$ 是 $U$ 的共轭转置， $I n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵。

酉矩阵是正交矩阵（元素均为实数）在复数的推广。

例子

以下是一个酉矩阵的例子：

U={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}

。

验证如下：

U^{*}U={\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}

UU^{*}={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}

从定义可知，酉矩阵满足以下性质：

U^{*}U=UU^{*}=I_{n}

。

由此可见，酉矩阵与其共轭转置 $U *$ 矩阵乘法可交换，是正规矩阵。

酉矩阵亦必定可逆，且逆矩阵等于其共轭转置：

U^{-1}=U^{*}

。

酉矩阵 $U$ 的所有特征值 $λ n$ ，都是绝对值等于 $1$ 的复数：

\left|\lambda _{n}\right|=1

。

因此，酉矩阵 $U$ 行列式的绝对值也是 $1$ ：

\left|\det(U)\right|=1

。

酉矩阵 $U$ 不会改变两个复向量 $x$ 和 $y$ 的点积：

(U\mathbf {x} )\cdot (U\mathbf {y} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}

。

更一般地说，所有希尔伯特内积也不会改变：

\langle U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle

。

若 $U$ 及 $V$ 都是酉矩阵，则 $UV$ 也是酉矩阵：

(UV)^{*}(UV)=(UV)(UV)^{*}=I_{n}

。

若 $U$ 为 $n \times n$ 矩阵，则下列条件等价：

给定任意的 $n$ ，所有 $n$ 阶幺正矩阵的集合 $G$ 与矩阵乘法“ $\cdot$ ”，都能构成一个群 $(G, \cdot )$ 。

幺正对角化（又译作幺正對角化，英语：unitary diagonalisation），指把一个矩阵 $A$ 对角化成以下形式：

A=UDU^{*}

，

其中 $U$ 是酉矩阵， $D$ 是对角矩阵。

根据谱定理，一个矩阵 $A$ 可幺正对角化，当且仅当 $A$ 是正规矩阵，即它与其共轭转置 $A *$ 矩阵乘法可交换（ $A * A = AA *$ ）。

由于酉矩阵本身也是一个正规矩阵，因此酉矩阵 $U$ 也可幺正对角化：

U=V\Sigma V^{*}\;

，

其中 $V$ 是酉矩阵， $Σ$ 是对角矩阵。

Rowland, Todd. "Unitary Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Peter V. O'Neil（2012）。高等工程数学（第7版）。黄孟槺译。华泰文化总经销，ISBN 978-1-285-10502-4。