外自同构群
抽象代数的群论中,群G的外自同构群Out(G)是自同构群Aut(G)对内自同构群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。
G的一个自同构如不是内自同构,便称为外自同构。外自同构群Out(G)的元素是G的内自同构子群Inn(G)在自同构群Aut(G)中的陪集,故其元素不是外自同构,同一元素可对应到某个外自同构和任何内自同构的复合,因此不能定义G的外自同构群于G上的作用。不过因为内自同构都将群G的元素映射到同共轭类的元素,所以可定义出外自同构群在G的共轭类上的作用。
然而,若G为阿贝尔群,则G的内自同构群是平凡群,于是Out(G)可以自然地等同于Aut(G),即是Out(G)的每个元素都对应唯一的自同构,因此Out(G)可以作用于G上。(而这时G的共轭类也各仅有一个元素。)
一些有限群的外自同构群
G | Out(G) | |
---|---|---|
2 | ||
(n > 2) | ( 是欧拉函数) | |
(p为素数,n > 1) | ||
对称群 (n ≠ 6) | 平凡群 | 1 |
2 | ||
交错群 (n ≠ 6) | 2 | |
4 |
与中心对偶
群G的外自同构群,在下述意义下可以视为对偶于G的中心Z(G):G的元素g所对应的共轭作用 是自同构,由此得映射 。这映射是群同态,核是G的中心,而余核是G的外自同构群(因这映射的像是G的内自同构群)。这关系可用正合列表示:
有限单群的外自同构群
参考
- Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7).