冯·诺伊曼基数指派

每个序数都有一个关联的基数，它的势，通过简单的忘记这个次序而获得的。任何良序集合都有这个序数作为它的有同样势的序类型。有给定基数作为它的势的最小的序数被叫做这个基数的初始序数。所有有限序数(自然数)是初始的，但是多数无限序数不是初始的。选择公理等价于声称所有集合可以是良序的，就是说所有基数都有初始序数。在这种情况下，在传统上把基数等同它的初始序数，并称这个初始序数是一个基数。

第 α 无限初始序数写为 ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ 。它的势写为 ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ 。例如，ω₀ = ω 的势是 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ，它也是 ω² 或 ε₀(所有可数序数)的势。所以(假定选择公理)我们可以把 ω 等同于 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ，除了在写为基数的时候使用符号 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ，写为序数的时候使用符号 ω 之外(这是重要的，因为 ${\displaystyle \aleph _{0}^{2}=\aleph _{0}}$  而 ${\displaystyle \omega ^{2}>\omega }$ )。还有，${\displaystyle \omega _{1}}$  是最小的不可数序数(要见到它的存在，考虑自然数的良序排序的等价类的集合: 每个这种良序排序定义一个可数序数，而 ${\displaystyle \omega _{1}}$  是这个集合的序类型)，${\displaystyle \omega _{2}}$  是其势大于 ${\displaystyle \aleph _{1}}$  的最小的序数，以此类推，而 ${\displaystyle \omega _{\omega }}$  是对于自然数 n 的 ${\displaystyle \omega _{n}}$  的极限(任何基数的极限是基数，所以这个极限的确是在所有 ${\displaystyle \omega _{n}}$  之后的第一个基数)。

• 序数
• 基数
• 基数指派