基数指派

在集合论中，势的概念可以有相当的发展，而无需借助于定义基数为理论自身内的对象（这实际上是弗雷格采用的观点；弗雷格基数基本上是指在等势关系下，由在全集中的集合所组成的各个等价类）。势的概念可以依据函数的单射、双射与满射概念来阐述；比如透过单射，可以给出在整个全集上通过大小比较的预序关系

${\displaystyle A\leq _{c}B\iff (\exists f)(f:A\to B\,}$是单射${\displaystyle )\,}$。

它不是真的排序，因为三分律不一定成立：如果 ${\displaystyle A\leq _{c}B}$ 和 ${\displaystyle B\leq _{c}A}$ 都为真，则通过 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理 ${\displaystyle A=_{c}B\ }$ 为真，就是说 A 和 B 是等势的，但作为集合它们可以不是相等的；“${\displaystyle A\leq _{c}B,B\leq _{c}B,A=_{c}B}$三者至少一种情况成立”这一陈述等价于选择公理。

不过多数关于势和它的算术的有趣结果可以只通过 =_c 来表达。

基数指派的目标是把每个集合 A 指派到特定的唯一的一个集合，所指派的集合只取决于 A 的势。这跟康托尔最初对基数的设想是一致的：取一个集合并把它的元素抽象为规范“单位”，再把这些单位收集到另一个集合中，使得有关这个集合唯一特殊的事情是它的大小。这类集合在 ${\displaystyle \leq _{c}}$ 下会是全序的，而=_c 会变成真正的等号。不过，如 Y. N. Moschovakis 所说，这只是作为体现数学简洁性的一个练习，你不会得到更多东西除非你“对下标过敏”。但是在集合论的各种模型中，有“真实”基数的各种有价值的应用。

在现代集合论中，我们通常使用冯·诺伊曼基数指派，它使用序数的理论与选择公理和替代公理的全部能力。基数指派需要完全的选择公理，如果我们想要像样的基数算术和对所有集合的基数指派。