定理内容
设 X 和 Y 为两个巴拿赫空间。假设 F 为由 X 映向 Y 的若干个连续线性算子的集合。若对于 X 中的任意一个 x ,都有
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则
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证明
由于 X 完备,利用贝尔纲定理可以得到以下简短的证明。
假定对于 X 中的任意一个 x, 都有
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对任意整数 记
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则 为闭集,且由假设有
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贝尔纲定理适用于非空的完备空间 X, 故存在 m 使得 的内部非空,即存在 和 ε > 0 使得
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设 u ∈ X 满足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 则有:
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使 u 历遍 X 的单位球,并取遍 得到
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因此定理成立。
也有无需贝尔纲定理的简单证明,例如 (Sokal 2011).
推论
该定理可以推出:若一列有界算子 (Tn) 逐点收敛,即对 X 的任意元素 x, 序列 (Tn(x)) 都收敛,则该列有界算子的逐点极限定义了另一个有界算子 T.
注意上述推论并未断言 Tn 在算子范数的意义下收敛到 T, 即:在有界集上一致收敛。然而,由于 (Tn) 在算子范数意义下有界,且其极限算子为一个连续算子 T, 可以利用标准的 "3-ε" 技巧证明,在任意紧集上,均有 Tn 一致收敛到 T.
另一推论为:赋范空间 Y 的弱有界子集 S 必然有界。
理由是,可以将 S 看成巴拿赫空间 X = Y* (Y的连续对偶)上逐点有界的一族连续线性算子。由一致有界性原理,S 的元素(视为 X 的线性泛函)的算子范数(即双对偶 Y** 上的范数)有界,但由哈恩-巴拿赫定理可知,S 的任意元素 s 在双对偶空间的范数,等于其于原空间 Y 的范数。
记 L(X, Y) 为自 X 映向 Y 的连续线性算子空间(赋以算子范数)。若族 F 为 L(X, Y) 的无界子集,则由一致有界性原理,有:
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更甚者,R 在 X 中稠密。原因是,R 在 X 中的补集是 ∪Xn, 故为闭集 Xn 的可数并。按照定理的证明过程,每个 Xn 都无处稠密,故 ∪Xn 为第一纲集。所以 R 是贝尔空间中一个第一纲集的补集。根据贝尔空间的定义,这样的集(称为剩余集)是稠密的。如此推理可得奇点凝聚原理,即:
若 X 为巴拿赫空间,{Yn} 为一系列赋范空间,Fn 为 L(X, Yn) 的无界子集,则集合
为第二纲集,因此在 X 中稠密。
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原因是,R 的补集可以写成第一纲集的可数并
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因此其剩余集 R 稠密。
例子:傅立叶级数的逐点收敛
设 为单位圆, 为 上连续函数在一致范数意义下组成的巴拿赫空间。由一致有界性原理,可以证明 中有一个元素,其傅立叶级数不逐点收敛。
对 其傅立叶级数定义为
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而级数的第 N 阶对称部分和为
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其中 DN 为第 N 阶狄利克雷核。选定 然后考虑序列 (SN(f)(x)) 的收敛性。以下式定义泛函 :
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则 φN,x 有界。而 φN,x 于 的对偶空间的范数,是带号测度 (2π)−1DN(x−t) dt 的范数,故
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可以验证
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故族 {φN,x} 是 ( 的对偶)的无界子集。因此,由一致有界性原理可知,对任意 傅立叶级数于 x 发散的连续函数在 中稠密。
也可运用奇点凝聚原理来得出更强的结论。设 (xm) 为 中的稠密序列。如上定义 φN,xm. 则由奇点凝聚原理,傅立叶级数于每一个 xm 都发散的连续函数在 中稠密。(然而要注意,根据卡尔松定理,一个连续函数 f 的傅立叶级数,几乎于每一点 都收敛到 f(x).
推广
受最少限制,而类似结论仍然适用的空间,是桶型空间。其上的一致有界性原理为(Bourbaki 1987,Theorem III.2.1):
给定桶型空间 X 和局部凸空间Y, 则任意一族由 X 映向 Y 的逐点有界的连续线性算子都等度连续。
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若把 X 换成一个贝尔空间而保持 Y 为局部凸的,则结论同样成立。(Shtern 2001)
Dieudonné (1970) 证明了 Fréchet 空间上一个较弱的结论:
若 X 为 Fréchet 空间, Y 为赋范空间,H 为由 X 映向 Y 的若干连续线性算子组成的集合,其满足对 X 中的任意元素 x,
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则族 H 等度连续。
参见
- 桶型空间是具有最少条件,而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓扑向量空间。
参考文献
- ^ 张鸿林; 葛显良. 英汉数学词汇. 清华大学出版社. 2005: 53 [2022-07-23]. ISBN 9787302098935. (原始内容存档于2022-07-23).
Banach–Steinhaus theorem 巴拿赫-斯坦豪斯定理
- Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, Sur le principe de la condensation de singularités (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1927, 9: 50–61 [2018-12-01], (原始内容存档 (PDF)于2019-05-01) . (法文)
- Bourbaki, Nicolas, Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6
- Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press, 1970 .
- Rudin, Walter, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1966 .
- Shtern, A.I., b/b015200, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
- Sokal, Alan, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly, 2011, 118: 450–452, arXiv:1005.1585 , doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .