共变和反变

向量：反变变换

• 标记法说明：向量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$  是向量空间 ${\displaystyle V\,\!}$  的元素。向量基底 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n}\,\!}$  构成了向量空间的一个基底，其坐标系统为${\displaystyle x^{1},x^{2},...,x^{n}\,\!}$ 。对应这个基底，向量${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 的分量为${\displaystyle v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!}$ ，即${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}\mathbf {e} _{i}}$ 。

（注：${\displaystyle v^{2}\,\!}$  这符号中的上标${\displaystyle 2}$ 不代表平方，而是代表第二个坐标，在较基础的数学上，常写作 ${\displaystyle v_{2}\,\!}$  ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及爱因斯坦求和约定。）

向量空间${\displaystyle V}$ 有另一个基底${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{1},...,{\bar {\mathbf {e} }}_{n}\,\!}$ ，其坐标系统为${\displaystyle {\bar {x}}^{1},...,{\bar {x}}^{n}\,\!}$ 。对应这个基底，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$  有分量 ${\displaystyle {\bar {v}}^{1},{\bar {v}}^{2},...,{\bar {v}}^{n}\,\!}$ ，即${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}{\bar {v}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}}$ 。

对于1...n之间任意整数 ${\displaystyle \mu \,\!}$  ，我们知道 ${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }\,\!}$  和 ${\displaystyle v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!}$  的关系：

${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{1}}}v^{1}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{2}}}v^{2}+...+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{n}}}v^{n}\,\!}$ 。

使用爱因斯坦求和约定可写成：

${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{i}}}v^{i}\,\!}$  。

余向量：共变变换

假设对偶空间${\displaystyle V^{*}}$ 有两个基底 ${\displaystyle {\mathbf {dx} ^{1},\mathbf {dx} ^{2},...,\mathbf {dx} ^{n}}\,\!}$ 跟${\displaystyle \mathbf {d{\bar {x}}} ^{1},\mathbf {d{\bar {x}}} ^{2},...,\mathbf {d{\bar {x}}} ^{n}\,\!}$  。^[1]:289-297

假设${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in V^{*},{\boldsymbol {\omega }}=\sum _{i}\mathbf {\eta } _{i}\mathbf {dx} ^{i}=\sum _{j}{\bar {\mathbf {\eta } }}_{j}d{\bar {\mathbf {x} }}^{j}}$ 。 则对于${\displaystyle 1}$ ...${\displaystyle n}$ 之间其中一个特定的整数 ${\displaystyle \mu \,\!}$  ，我们知道 ${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }\,\!}$  和 ${\displaystyle \mathbf {\eta } _{1},\mathbf {\eta } _{2},...,\mathbf {\eta } _{n}\,\!}$  的关系：

${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{1}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{1}+{\frac {\partial x^{2}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{2}+...+{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{n}\,\!}$  。

或使用爱因斯坦求和约定写成：

${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{i}\,\!}$  。

在欧几里得空间 ${\displaystyle V\,\!}$  里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量；对于所有余向量 ${\displaystyle \mathbf {w} \,\!}$  ，通过下述方程，向量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$  和线性泛函 ${\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )\,\!}$  ，唯一地确定了余向量 ${\displaystyle \mathbf {w} \,\!}$  ：

${\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} \,\!}$  。

逆过来，通过上述方程，线性泛函 ${\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )\,\!}$  和每一个余向量，唯一地确定了向量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$  。由于这向量与余向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予 ${\displaystyle V\,\!}$  的一个基底 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!}$  ，则必存在一个唯一的对偶基底 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!}$  ，满足

${\displaystyle Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$  是克罗内克函数。

以这两种基底，任意向量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$  可以写为两种形式

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}v_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle v^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}$  是向量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$  对于基底 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}$  的反变分量，${\displaystyle v_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}$  是向量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$  对于基底 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}$  的共变分量，

欧几里得空间

在欧几里得空间Ｒ³里，使用内积运算，能够从向量求得余向量。给予一组可能不是标准正交基的基底，其基底向量为 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$  ，就可以计算其对偶基底的基底向量：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!}$  是三个基底向量 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$  所形成的平行六面体的体积。

反过来计算，

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!}$  是三个基底向量 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!}$  所形成的平行六面体的体积 。

虽然 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$  与 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!}$  并不相互标准正交，它们相互对偶：

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!}$  。

这样，任意向量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$  的反变坐标为

${\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!}$  。

类似地，共变坐标为

${\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!}$  。

这样， ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$  可以表达为

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!}$  ，

或者，

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!}$  。

综合上述关系式，

${\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!}$  。

向量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$  的共变坐标为

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!}$  是度规张量。

向量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$  的反变坐标为

${\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}$  ;

其中，${\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!}$  是共轭度规张量。

共变坐标的标号是下标，反变坐标的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基，或反变基底向量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变坐标和反变坐标，所有的标号都可以用下标来标记。

根据相对性原理，一条物理定律在不同的系统，都应该有相同的“形式”。

狭义相对论讨论的是闵可夫斯基空间，它是一种平直空间。