测度

${\displaystyle X}$ 是个集合，定义在 ${\displaystyle X}$ 上的另一集合 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  ，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的元素是 ${\displaystyle X}$ 的子集合，而且是一个σ-代数，测度 ${\displaystyle \mu }$ （详细的说法是可数可加的正测度）是个定义在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  上的函数，于${\displaystyle [0,\infty ]}$ 中取值，且满足以下性质：

• 非负性质：对所有的 ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ ，有 ${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$ ，
• 空集合的测度为零：${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ，

• 可数可加性，或称 ${\displaystyle \sigma }$ -可加性：若 ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$  为 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  中可数个两两不相交元素的集合，换句话讲，对所有 ${\displaystyle E_{i},E_{j}\in \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ，${\displaystyle i\neq j}$  有 ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }$ ，则可得

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$ 。

这样的三元组${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ 称为一个测度空间，而${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  中的元素称为这个空间中的可测集合。

下面的一些性质可从测度的定义导出：

单调性

测度${\displaystyle \mu \ }$ 的单调性： 若${\displaystyle E_{1}\ }$ 和${\displaystyle E_{2}\ }$ 为可测集，而且${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$ ，则${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$ 。

可数个可测集的并集的测度

若${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }$ 为可测集（不必是两两不交的），则集合${\displaystyle E_{n}\ }$ 的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$ 

如果还满足并且对于所有的${\displaystyle n\ }$ ，${\displaystyle E_{n}\ }$ ⊆${\displaystyle E_{n+1}\ }$ ，则如下极限式成立：

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$ 

可数个可测集的交集的测度

若${\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }$ 为可测集，并且对于所有的${\displaystyle n\ }$ ，${\displaystyle E_{n+1}\ }$ ⊆${\displaystyle E_{n}\ }$ ，则${\displaystyle E_{n}\ }$ 的交集是可测的。进一步说，如果至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$ 的测度有限，则有极限：

${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$ 

如若不假设至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$ 的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，令

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$ 

这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

如果${\displaystyle \mu (X)\ }$ 是一个有限实数（而不是${\displaystyle \infty }$ ），则测度空间${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ 称为有限测度空间。非零的有限测度与概率测度类似，因为可以通过乘上比例因子${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}}$ 进行归一化。如果${\displaystyle X\ }$ 可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为${\displaystyle \sigma }$ -有限测度空间。如果测度空间中的一个集合${\displaystyle A\ }$ 可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称${\displaystyle A\ }$ 具有${\displaystyle \sigma }$ -有限测度。

作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是${\displaystyle \sigma }$ -有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为${\displaystyle \infty }$ 。这样的测度空间就不是${\displaystyle \sigma }$ -有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。${\displaystyle \sigma }$ -有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，${\displaystyle \sigma }$ -有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

对于一个可测集${\displaystyle N}$ ，若${\displaystyle \mu (N)=0\ }$ 成立，则称为零测集，其子集称为可去集。

一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：

考虑${\displaystyle X}$ 的所有与某个可测集${\displaystyle E}$ 仅差一个可去集的子集${\displaystyle F}$ ，可得到${\displaystyle E}$ 与${\displaystyle F}$ 的对称差包含于一个零测集中。

由这些子集${\displaystyle F}$ 生成的σ代数，并定义${\displaystyle \mu (F)=\mu (E)}$ ，所得到的测度即为完备测度。

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

• 计数测度　定义为${\displaystyle \mu (S)=S\ }$ 的“元素个数”。
• 一维勒贝格测度是定义在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足${\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }$ 的唯一测度。
• Circular angle测度是旋转不变的。
• 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
• 恒零测度定义为${\displaystyle \mu (S)=0\ }$ ，对任意的${\displaystyle S\ }$ 。
• 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

• 外测度（Outer measure）
• 几乎处处（Almost everywhere）
• 勒贝格测度（Lebesgue measure）
• 勒贝格积分
• 法图引理(Fatou's lemma)
• 富比尼定理(Fubini's theorem)
• 可测基数

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. Daniell integral.

• Hazewinkel, Michiel (编), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Tutorial: Measure Theory for Dummies（为初学者准备的测度论教学） （页面存档备份，存于互联网档案馆）