对称差

对称差是集合间的运算，两个集合${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ ，其对称差${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B}$ 有几种等价的定义方式：

1. ${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B=(A-B)\cup (B-A)}$ 
2. ${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B=(A\cup B)-(A\cap B)}$ 

对称差运算的主要性质包括：

交换律

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B=B\operatorname {\triangle } A}$ 

结合律

${\displaystyle (A\operatorname {\triangle } B)\operatorname {\triangle } C=A\operatorname {\triangle } (B\operatorname {\triangle } C)}$ 

单位元

${\displaystyle \varnothing \operatorname {\triangle } A=A}$ （空集是单位元）

逆元

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } A=\varnothing }$ 

分配律

${\displaystyle A\cap (B\operatorname {\triangle } C)=(A\cap B)\operatorname {\triangle } (A\cap C)}$ 

注意：

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } (B\cap C)\neq (A\operatorname {\triangle } B)\cap (A\operatorname {\triangle } C)}$ 

${\displaystyle A\cup (B\operatorname {\triangle } C)\neq (A\cup B)\operatorname {\triangle } (A\cup C)}$ 

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } (B\cup C)\neq (A\operatorname {\triangle } B)\cup (A\operatorname {\triangle } C)}$ 

布尔环

以对称差作为加法，交集为乘法，任何集合${\displaystyle X}$ 的幂集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ 构成一个布尔环，并可以诱导一个同构的布尔代数。

综上可得，采用对称差运算，任意集合${\displaystyle X}$ 的幂集是阿贝尔群。由于该群中所有元素都是其自身的负元，这个群实际上是二元域${\displaystyle Z_{2}}$ 上的向量空间。若${\displaystyle X}$ 有限，则以其为元素的单元素集合构成这个向量空间的基，那么向量空间的维数等于${\displaystyle X}$ 的元素个数。这种构造方法用于图论，可定义图的圈空间。

对称差满足的恒等式有：

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } \varnothing =A}$ 

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } A=\varnothing }$ 

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B=B\operatorname {\triangle } A}$ 

${\displaystyle (A\operatorname {\triangle } B)\operatorname {\triangle } C=A\operatorname {\triangle } (B\operatorname {\triangle } C)}$ 

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B=A\operatorname {\triangle } C\Rightarrow B=C}$ 

或者用异或运算（${\displaystyle \oplus }$ ）表示：

${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B=\{x\mid (x\in A)\oplus (x\in B)\}}$ 

对称差可以在任意布尔代数中定义，写作：

${\displaystyle x\operatorname {\triangle } y=(x\lor y)\land \neg (x\land y)=(x\land \neg y)\lor (y\land \neg x)}$ 

• 朴素集合论
• 并集
• 交集
• 补集
• 不交并