朴素集合论

在纯数学中，朴素集合论是探讨数学基础时，用到的几个集合论中的一个[1]，朴素集合论主要是将用一般语言的形式处理集合问题，依赖于把集合作为叫做这个集合的“元素”或 “成员”的搜集（collection），未有形式化的理解。和用公理定义而产生的公理化集合论不同。

而公理化集合论只使用明确定义的公理列表，还有从中证明的关于集合和成员关系的种种事实，公理起源自对对象的搜集和它们的成员的理解，但为了各种目的而被谨慎地构建，例如是避免已知的各种悖论，例如理发师悖论－一个理发师他只为（而且一定要为）城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子，那理发师该为自己刮胡子吗？

集合在数学中是极其重要的；事实上，采用现代的形式化定义，多种数学对象（数、关系、函数等等）都可以用集合来构建。

集合、成员及相等

在朴素集合论中，集合是指由许多物件组成，有明确定义的搜集（collection）。这些物件称为集合的元素或是成员。物件可以是数字、人、其他组合等。例如，4是所有偶数形成集合中的元素。而集合的成员可以是无限多个，像是偶数形成的集合就有无限多个元素。

成员

若x是集合A的成员，也可以说x属于A，可以用x ∈ A表示，∈符号衍生自希腊字母小写的ε，是朱塞佩·皮亚诺在1889年引入，应该是因为是ἐστί（意思是"是"）的第一个字母。也常在x ∉ A的式子中用到符号 ∉，意思是x不属于A。

相等

两个集合A和B若其元素完全相同，则定义为二集合相等。也就是说，集合A的每一个元素都在集合B里，而集合B的每一个元素都在集合A里（参考外延公理）。因此一个集合可完全由其元素来确认，描述方式不是重点。例如一个有元素2, 3和5的集合和由小于6的质数组成的集合相等。

若集合A和B相等，可以表示为A = B。

空集合

空集合常会以Ø表示，有时会表示为 ，是一个没有任何元素的集合，因为集合可完全由其元素来确认，因此只有一个空集合（参考空集公理）。虽然空集合没有任何元素，但空集合本身可以是其他集合的元素。因此Ø ≠ {Ø}，因为前者没有元素，后者有一个元素。

特点

朴素集合论中的“朴素”是指一个非形式化的理论，也就是用自然语言来描述集合以及集合的运算。语言中用到的and、or、if ... then、not、for some、for every都和一般数学中使用的相同。为了方便起见，朴素集合论中用到的用语也会在更高阶的数学中出现，甚至是出现在公理化集合论中。

朴素集合论是最早发展的集合论，是在19世纪末由格奥尔格·康托尔在其无限集合的研究中提出的[2]，后来由戈特洛布·弗雷格在《概念文字》一书中继续发展。

朴素集合论也可以指许多不同的主题，可以是：

  • 公理化集合论的非正式表示，例如保罗·哈尔莫斯的《Naive Set Theory（英语：Naive Set Theory (book)）》。
  • 格奥尔格·康托尔理的其他版本，或是其他非公理化的理论。
  • 具有决定性不一致的理论（不论是否公理化），例如戈特洛布·弗雷格提出[3]，会造成罗素悖论的理论，或是朱塞佩·皮亚诺[4]或理查德·戴德金的理论。

悖论

朴素集合论中假设任何一个性质都可以用来建构集合，不受任何限制，此一假设就造成了悖论，一个常见的悖论是罗素悖论： 没有一个集合是由“所有不包括自身的集合”所组成的。

若存在此一集合，集合是由“所有不包括自身的集合”所组成的，则

  • 若此集合不是集合本身的成员，此集合符合“不包括自身的集合”的定义，应该要是此集合的成员之一，矛盾。
  • 若此集合是集合本身的成员，此集合不符合“不包括自身的集合”的定义，不应该在此集合中，矛盾。

因此朴素集合论的一致性系统需要在可形成集合的条件上作一些限制，以避免出现上述悖论。

脚注

  1. ^ Concerning the origin of the term naive set theory, Jeff Miller says, "Naïve set theory (contrasting with axiomatic set theory) was used occasionally in the 1940s and became an established term in the 1950s. It appears in Hermann Weyl's review of P. A. Schilpp (ed) The Philosophy of Bertrand Russell in the American Mathematical Monthly, 53., No. 4. (1946), p. 210 and Laszlo Kalmar's review of The Paradox of Kleene and Rosser in Journal of Symbolic Logic, 11, No. 4. (1946), p. 136. (JSTOR)." [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） The term was later popularized by Paul Halmos' book, Naive Set Theory (1960).
  2. ^ Cantor 1874
  3. ^ Frege 1893 In Volume 2, Jena 1903. pp. 253-261 Frege discusses the antionomy in the afterword.
  4. ^ Peano 1889 Axiom 52. chap. IV produces antinomies.

参考资料

参见