外延公理
在公理化集合论与使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中,外延性公理或外延公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。
形式陈述
在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,它读做:
换句话说:
(这里的 是集合不是本质性的,但在ZF中所有东西都是集合。参见下面的带有基本元素的集合论章节)。
解释
要理解这个公理,注意上述符号陈述中圆括号内的子句简单的声称了 A 和 B 有完全相同的成员。所以,这个公理实际上说的是两个集合相等,当且仅当它们有完全相同的成员。它的本质是:
- 集合唯一的由它的成员来决定。
外延性公理可以同 形式的概括陈述一起使用,这里的 是不提及 或 的任何一元谓词,来定义一个唯一集合 ,它的成员完全是满足谓词 的集合。我们可以接着为 介入新的符号;普通数学中的定义最终以这种方式工作的,当它们的陈述简化到纯集合论术语的时候。
外延性公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论的公理化中。但是对于某些使用需要修改。
在没有等号的谓词逻辑中
上面给出的公理假定等号是谓词逻辑的基本符号。某些公理化集合论的做法是不做这个假定:有的不把上述陈述作为公理,而是作为对等号的定义。那么,就必须连同来自谓词逻辑中有关等式的公理,作为关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理仍能从这个定义得出;余下的一个是
而这就成为了所谓的外延性公理。
在有基本元素的集合论中
基本元素是自身不是集合的一个集合的一个元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中没有基本元素,但在某些可替代的集合论的公理化中会有它们。基本元素可以被当作不同于集合的逻辑类型;在这种情况下,如果 是基本元素,则 没有意义,所以外延性公理只适用于集合。
作为选择之一,在无类型逻辑中我们可以要求 在 是基本元素的时候为假。在这种情况下,平常的外延性公理将蕴涵所有基本元素等于空集。为了避免这样,我们可以修改外延性公理为只适用于非空集合,并把它读为:
就是说:
- 给定任何集合 和任何集合 ,如果 是非空集合(就是说存在着 的一个成员 ),那么 和 是相等的,当且仅当它们有完全相同的成员。
另一个选择,在无类型逻辑中可定义 在 是基本元素的时候自身是 的唯一的元素。尽管这个方式可以胜任保存外延性公理,但基础公理反而需要调整。
引用
- Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.