罗素悖论

我们通常希望：任给一个性质(例如：“年满三十岁”就是一个性质)，满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论：

罗素悖论：设有一性质${\displaystyle P}$ ，并以一性质函数表示：${\displaystyle P(x)}$ ，且其中的自变量${\displaystyle x}$ 有此特性：${\displaystyle x\not \in x}$ ，

现假设由性质${\displaystyle P}$ 能够确定一个满足性质${\displaystyle P}$ 的集合${\displaystyle A}$ ——也就是说 ${\displaystyle A=\{x\mid x\not \in x\}}$ 。那么现在的问题是${\displaystyle A\in A}$ 是否成立？

首先，若${\displaystyle A\in A}$ ，则${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle A}$ 的元素，那么${\displaystyle A}$ 具有性质${\displaystyle P}$ ，由性质函数${\displaystyle P}$ 可以得知${\displaystyle A\not \in A}$ ；

其次，若${\displaystyle A\not \in A}$ ，根据定义，${\displaystyle A}$ 是由所有满足性质${\displaystyle P}$ 的类组成，也就是说，${\displaystyle A}$ 具有性质${\displaystyle P}$ ，所以${\displaystyle A\in A}$ 。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理发师悖论被一些人认为只是罗素悖论的一种描述方式，仅以理发师悖论并无法完全叙述罗素悖论。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论和罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人对应一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他对应的集合里的元素，都是城里不属于自己对应的集合的人，并且城里所有不属于自身对应集合的人都属于理发师对应的集合，那么他是否属于他自己对应的集合？这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的^[1]。

另一种等价的悖论为书目悖论，第一类的书的目录有它自己的条目，经典的例子就是维基百科。第二类的书目录则没有它自己的条目，一般的书目都是如此，问：今有一图书馆员，想将第二类的书名编辑成一册，则将所有第二类书籍名称统整的该书该不该拥有自己名称的条目？

假设（1）：拥有自己名称的条目

假设（2）：不拥有自己名称的条目

分析：

假设（1）：拥有自己名称的条目

        表示該書是一本第一類的書
        =>與命題不符（該書目錄只有第二類）=>是第二類的書

假设（2）：不拥有自己名称的条目

        表示該書為一本第二類的書
        =>與命題不符（在目錄沒有該書名）=>是第一類的書

因为，如果把每本书对应一个集合，这个集合的元素被定义成这本书分类的方式。那么，该统整书对应的集合里的元素，都是馆内不属于自己对应的集合的书，并且馆内所有不属于自身对应集合的书都属于该统整书对应的集合，那么该书是否属于它自己对应的集合？这样就由书目悖论得到罗素悖论。

根据路德维希·维特根斯坦的逻辑哲学论3.333,任何命题不能包含自身,同理一个函数不能包含自身。 例子: 假设一个函数${\displaystyle F(fx)}$ ,如果命题不能不包含自身(即可以包含自身),那么就会有${\displaystyle F(F(fx))}$ 这个命题就会同一个F但有2个意义的情况。内层F为φ${\displaystyle (fx)}$ ,外层F为Ψφ${\displaystyle (fx)}$ 。应写成“(∃φ):F(φu). φu”(维特根斯坦用“.”表示 “&”) 由此解决罗素悖论本身。

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