空集公理

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理读做：

${\displaystyle \exists A,\forall x:\lnot (x\in A)}$ 

换句话说：

有着一个集合使得“没有集合”是它的元素。

我们可以使用外延公理来证明只有一个这样的集合。因为它是唯一的，我们可以简单名之为空集，并将其标记为 {} 或 ${\displaystyle \varnothing }$ 。因此这个公理的本质是：

存在一个空集。

空集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命题出现在任何可替代的集合论的公理化中。

在 ZF 的某些陈述版本中，空集公理实际上在无穷公理中是重复的。换句话说，有不预设空集存在的另一种公理版本。还有，以一常量符号表示空集的话，借此可以把其他 ZF 公理重写成更简洁的版本；那么无穷公理也会用到这个符号而不要求它是空的，尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。

而且，在那些不包含无穷集合的集合论中，空集公理仍是需要的。就是说，使用分离公理模式，声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.