逆元素

数学中，逆元素（英语：Inverse element）推广了加法中的反数和乘法中的倒数。

定义

设S为一有二元运算 * 的集合。若e为(S,*)的单位元且a*b=e，则a称为b的左逆元素且b称为a的右逆元素。若一元素x同时是y的左逆元素和右逆元素时，x称为y的两面逆元素或简称为逆元素。S内的一有两面逆元素的元素被称为在S内为可逆的。

正如(S,*)可以有数个左单位元或右单位元一般，一元素同时有数个左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有数个左逆元素和右逆元素。

若其运算 * 具有结合律，则当一元素有一左逆元素和一右逆元素时，这两个会是相同且唯一的。在这一情形之下，可逆元的集合会是个群，称为S的可逆元群，且标记为U(S)或 $S^{*}$ 。

每一实数x都会有一加法逆元（即加法上的逆元素）-x。每一非零实数x都会有一倒数（即乘法上的逆元素） ${\frac {1}{x}}$ 。此外，零没有倒数。

一元素在一体K内的方阵M为可逆的（在所有相同大小方阵的集合内，于矩阵乘法下）当且仅当其行列式不等于零。若M的行列式为零，它便不可能会有一单面逆元素，因此一单面逆元素必为两面逆元素。更多详情请参见逆矩阵。

更一般地，一元素在一可交换环R内的方阵是可逆的当且仅当其行列式在R是可逆的。

一函数g是一函数f的左（右）逆元素（在复合函数之下），当且仅当当 $g\circ f$ （ $f\circ g$ ）为f定义域（陪域）上的恒等函数。在这一例子里，一函数有右逆元素而无左逆元素，或许相反，是很常见的。