广义逆阵
广义逆(Generalized inverse)[1],是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵,是指具有部分逆矩阵的特性,但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假设一矩阵及另一矩阵,若满足,则即为的广义逆阵。
广义逆也称为伪逆(pseudoinverse)[2],有些时候,伪逆特指摩尔-彭若斯广义逆。
建构广义逆阵的目的是针对可逆矩阵以外的矩阵(例如非方阵的矩阵)可以找到一矩阵有一些类似逆矩阵的特性。任意的矩阵都存在广义逆阵,若一矩阵存在逆矩阵,逆矩阵即为其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定义在和结合律乘法有关的数学结构(例如半群)中。
提出广义逆阵的原因
考虑以下的线性方程
其中 为 的矩阵,而 , 的列空间。 若矩阵 为可逆矩阵,则 即为方程式的解。而若矩阵 为可逆矩阵
假设矩阵 不可逆或是 ,需要一个适合的 矩阵 使得下式成立
因此 为线性系统 的解。 而同样的, 阶的矩阵 也会使下式成立
因此可以用以下的方式定义广义逆阵:假设一个 的矩阵 , 的矩阵 若可以使下式成立,矩阵 即为 的广义逆阵
产生广义逆阵
以下是一种产生广义逆阵的方式[3]:
- 若 为其秩分解,则 为 的广义逆阵,其中 为 的右逆矩阵,而 为 的左逆矩阵。
- 若 ,其中 及 为可逆矩阵,则 是 的广义逆阵,其中 及 均为任意矩阵。
- 令 为秩为 的矩阵,在不失一般性的情形下,令 ,其中 为 的可逆子矩阵,则 为 的广义逆阵。
广义逆阵的种类
彭若斯条件可以用来定义不同的广义逆阵:针对 及
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若 满足条件(1.),即为 的广义逆阵,若满足条件(1.)和(2.),则为 的广义反身逆阵(generalized reflexive inverse),若四个条件都满足,则为 的摩尔-彭若斯广义逆。
以下是一些其他种类的广义逆阵
应用
任何一种广义逆阵都可以用来判断线性方程组是否有解,若有解时列出其所有的解[4]。若以下n × m的线性系统有解存在
其中向量 为未知数,向量b为常数,以下是所有的解
其中参数w为任意矩阵,而 为 的任何一个广义逆阵。解存在的条件当且仅当 为其中一个解,也就是当且仅当 。
参考资料
- ^ Generalized Inverses: How to Invert a Non-Invertible Matrix (PDF). [2016-07-10]. (原始内容存档 (PDF)于2016-11-30).
- ^ Pseudo-Inverse of a Matrix. Inst.eecs.berkeley.edu. 2014-02-11 [2016-07-10]. (原始内容存档于2016-08-15).
- ^ Bapat, Ravindra B. Linear algebra and linear models. Springer Science & Business Media, 2012.springer.com/book (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ James, M. The generalised inverse. Mathematical Gazette. June 1978, 62: 109–114. doi:10.2307/3617665.
- Yoshihiko Nakamura. * Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley. 1991. ISBN 0201151987.
- Zheng, B; Bapat, R. B. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation. Applied Mathematics and Computation. 2004, 155: 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0.
- S. L. Campbell and C. D. Meyer. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. 1991. ISBN 978-0-486-66693-8.
- Adi Ben-Israel and Thomas N.E. Greville. Generalized inverses. Theory and applications 2nd. New York, NY: Springer. 2003 [2016-07-08]. ISBN 0-387-00293-6. (原始内容存档于2016-08-18).
- C. R. Rao and C. Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. 1971: 240. ISBN 0-471-70821-6.
相关条目
- 反元素
- 摩尔-彭若斯广义逆
- 弱逆