广义逆阵

广义逆(Generalized inverse)[1],是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A广义逆阵,是指具有部分逆矩阵的特性,但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假设一矩阵及另一矩阵,若满足,则即为的广义逆阵。

广义逆也称为伪逆(pseudoinverse)[2],有些时候,伪逆特指摩尔-彭若斯广义逆

建构广义逆阵的目的是针对可逆矩阵以外的矩阵(例如非方阵的矩阵)可以找到一矩阵有一些类似逆矩阵的特性。任意的矩阵都存在广义逆阵,若一矩阵存在逆矩阵,逆矩阵即为其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定义在和结合律乘法有关的数学结构(例如半群)中。

提出广义逆阵的原因

考虑以下的线性方程

 

其中  的矩阵,而  列空间。 若矩阵 可逆矩阵,则 即为方程式的解。而若矩阵 为可逆矩阵

 

假设矩阵 不可逆或是 ,需要一个适合的 矩阵 使得下式成立

 

因此 为线性系统 的解。 而同样的, 阶的矩阵 也会使下式成立

 

因此可以用以下的方式定义广义逆阵:假设一个 的矩阵  的矩阵 若可以使下式成立,矩阵 即为 的广义逆阵

 

产生广义逆阵

以下是一种产生广义逆阵的方式[3]

  1.  为其秩分解英语rank factorization,则  的广义逆阵,其中  的右逆矩阵,而  的左逆矩阵。
  2.  ,其中  为可逆矩阵,则  的广义逆阵,其中  均为任意矩阵。
  3.   的矩阵,在不失一般性的情形下,令 ,其中  的可逆子矩阵,则  的广义逆阵。

广义逆阵的种类

彭若斯条件可以用来定义不同的广义逆阵:针对  

1.)  
2.)  
3.)  
4.)  

 满足条件(1.),即为 的广义逆阵,若满足条件(1.)和(2.),则为 的广义反身逆阵(generalized reflexive inverse),若四个条件都满足,则为 摩尔-彭若斯广义逆

以下是一些其他种类的广义逆阵

  • 单边逆矩阵(左逆矩阵或是右逆矩阵)若矩阵A的维度是 且为 满秩,若 则用左逆矩阵,若 则用右逆矩阵。
    • 左逆矩阵为 ,也就是 ,其中  单位矩阵
    • 右逆矩阵为 ,也就是 ,其中   单位矩阵。
  • 德拉任逆矩阵英语Drazin inverse
  • 博特-达芬逆矩阵英语Bott–Duffin inverse
  • 摩尔-彭若斯广义逆

应用

任何一种广义逆阵都可以用来判断线性方程组是否有解,若有解时列出其所有的解[4]。若以下n × m的线性系统有解存在

 

其中向量 为未知数,向量b为常数,以下是所有的解

 

其中参数w为任意矩阵,而  的任何一个广义逆阵。解存在的条件当且仅当 为其中一个解,也就是当且仅当 

参考资料

  1. ^ Generalized Inverses: How to Invert a Non-Invertible Matrix (PDF). [2016-07-10]. (原始内容存档 (PDF)于2016-11-30). 
  2. ^ Pseudo-Inverse of a Matrix. Inst.eecs.berkeley.edu. 2014-02-11 [2016-07-10]. (原始内容存档于2016-08-15). 
  3. ^ Bapat, Ravindra B. Linear algebra and linear models. Springer Science & Business Media, 2012.springer.com/book页面存档备份,存于互联网档案馆
  4. ^ James, M. The generalised inverse. Mathematical Gazette. June 1978, 62: 109–114. doi:10.2307/3617665. 

相关条目

外部链接