摩尔－彭若斯广义逆

定义一

令P_S表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A，设R(A)表示A的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件：

以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵G称为矩阵A的摩尔逆矩阵。

定义二

彭若斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件^[3]：

1. ${\displaystyle {\boldsymbol {AGA}}={\boldsymbol {A}}}$ ， ${\displaystyle {\boldsymbol {AG}}}$ 不一定是单位矩阵，但却不会改变${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ 的列向量。
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {GAG}}={\boldsymbol {G}}}$ ， ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ 是乘法半群的弱逆
3. ${\displaystyle ({\boldsymbol {AG}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {AG}}}$ ， ${\displaystyle {\boldsymbol {AG}}}$ 是埃尔米特矩阵
4. ${\displaystyle ({\boldsymbol {GA}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {GA}}}$ ， ${\displaystyle {\boldsymbol {GA}}}$ 也是埃尔米特矩阵

以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵G，就称为A的摩尔－彭若斯广义逆矩阵。

从摩尔－彭若斯条件出发，彭若斯推导出了摩尔－彭若斯广义逆的一些性质^[3]：

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{\dagger })^{H}}$ 
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}={\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }={\boldsymbol {A}}^{H}}$ 
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }{\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}}$ 
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}}$ ，${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$ ，${\displaystyle ({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})}$ 和${\displaystyle ({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})}$ 都是幂等矩阵。

存在性和唯一性

伪逆存在且唯一：对于任何矩阵${\displaystyle A}$ ，恰好有一个矩阵${\displaystyle A^{\dagger }}$ 满足定义的四个性质。^[4]

满足该定义的第一个条件的矩阵被称为广义逆。如果该矩阵也满足第二个定义，它就被称为广义反身逆阵（generalized reflexive inverse）。广义逆矩阵总存在，但一般不唯一。唯一性是最后两个条件的结果。

基本性质

这些性质的证明可以在维基教科书中找到。

• 如果 ${\displaystyle A}$  有实数项，那么 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ 也有。
• 如果 ${\displaystyle A}$  是可逆的，它的伪逆就是它的逆矩阵，即： ${\displaystyle A^{\dagger }=A^{-1}}$ .^[5]:243
• 零矩阵的伪逆是它的转置。
• 矩阵伪逆的伪逆是原矩阵，即： ${\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A}$ .^[5]:245
• 伪转置与转置、复共轭和共轭转置可以交换：^[5]:245

  ${\displaystyle \left(A^{\textsf {T}}\right)^{\dagger }=\left(A^{\dagger }\right)^{\textsf {T}}}$ , ${\displaystyle \left({\overline {A}}\right)^{\dagger }={\overline {A^{\dagger }}}}$ , ${\displaystyle \left(A^{*}\right)^{\dagger }=\left(A^{\dagger }\right)^{*}}$ .

• 矩阵 ${\displaystyle A}$  的标量乘法的伪逆是 ${\displaystyle A^{\dagger }}$  的标量的倒数的乘法：

  ${\displaystyle \left(\alpha A\right)^{\dagger }=\alpha ^{-1}A^{\dagger }}$  对于 ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ .

恒等式

下面的恒等式可以用来判定部分涉及伪逆的子表达式的正确性：

埃尔米特情况

伪逆的计算可以简化为其在埃尔米特情况下的构造，这可以通过等价关系实现：

乘积

令${\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n},\ B\in \mathbb {k} ^{n\times p}}$ ，下列等式等价：^[6]

1. ${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$ 
2. ${\textstyle {\begin{aligned}A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{\dagger }A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}}$ 
3. ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A^{\dagger }ABB^{*}\right)^{*}&=A^{\dagger }ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{\dagger }\right)^{*}&=A^{*}ABB^{\dagger }.\end{aligned}}}$ 
4. ${\displaystyle A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}ABB^{\dagger }=BB^{*}A^{*}A}$ 
5. ${\displaystyle {\begin{aligned}A^{\dagger }AB&=B(AB)^{\dagger }AB,\\BB^{\dagger }A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{\dagger }.\end{aligned}}}$ 

下方列出了 ${\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$ 的充分条件：

1. ${\displaystyle A}$  的列单位正交（此时${\displaystyle A^{*}A=A^{\dagger }A=I_{n}}$ ），或
2. ${\displaystyle B}$  的行单位正交 （此时 ${\displaystyle BB^{*}=BB^{\dagger }=I_{n}}$ ） ，或
3. ${\displaystyle A}$  的列线性无关（此时 ${\displaystyle A^{\dagger }A=I}$  ） 同时 ${\displaystyle B}$  的行线性无关（此时 ${\displaystyle BB^{\dagger }=I}$ ），或
4. ${\displaystyle B=A^{*}}$ ，或
5. ${\displaystyle B=A^{\dagger }}$ 。

下方列出了 ${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$ 的必要条件：

1. ${\displaystyle (A^{\dagger }A)(BB^{\dagger })=(BB^{\dagger })(A^{\dagger }A)}$ 

由最后一个充分条件得出等式：

投影

${\displaystyle P=AA^{\dagger }}$  和 ${\displaystyle Q=A^{\dagger }A}$  是正交投影算子，即它们是埃尔米特矩阵（${\displaystyle P=P^{*}}$ ，${\displaystyle Q=Q^{*}}$ ）和幂等矩阵（${\displaystyle P^{2}=P}$ ，${\displaystyle Q^{2}=Q}$ ）。以下性质成立：

• ${\displaystyle PA=AQ=A}$  ，${\displaystyle A^{\dagger }P=QA^{\dagger }=A^{\dagger }}$ 
• ${\displaystyle P}$  是正交投影算子，投影到 ${\displaystyle A}$  的值域（也就是 ${\displaystyle A^{*}}$  的核的正交补空间）。
• ${\displaystyle Q}$  是正交投影算子，投影到 ${\displaystyle A^{*}}$  的值域（也就是 ${\displaystyle A}$  的核的正交补空间）。
• ${\displaystyle (I-Q)=\left(I-A^{\dagger }A\right)}$  是正交投影算子，投影到 ${\displaystyle A}$  的核。
• ${\displaystyle (I-P)=\left(I-AA^{\dagger }\right)}$  是正交投影算子，投影到 ${\displaystyle A^{*}}$  的核。^[4]

最后两条性质隐含了下列等式：

• ${\displaystyle A\,\ \left(I-A^{\dagger }A\right)=\left(I-AA^{\dagger }\right)A\ \ =0}$ 
• ${\displaystyle A^{*}\left(I-AA^{\dagger }\right)=\left(I-A^{\dagger }A\right)A^{*}=0}$ 

如果 ${\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{n\times n}}$  是埃尔米特矩阵和幂等矩阵（当且仅当它为正交投影矩阵），则对于任意矩阵 ${\displaystyle B\in \mathbb {k} ^{m\times n}}$  ，下式成立：^[7]

当 ${\displaystyle A}$  是一个正交投影矩阵，则它的伪逆就是它自身，即 ${\displaystyle A^{\dagger }=A}$ 。

几何结构

如果我们把矩阵看作是一个在数域 ${\displaystyle \mathbb {k} }$  上的线性映射 ${\displaystyle A:\mathbb {k} ^{n}\to \mathbb {k} ^{m}}$ ， 那么 ${\displaystyle A^{\dagger }:\mathbb {k} ^{m}\to \mathbb {k} ^{n}}$  可以被分解如下。首先定义符号： ${\displaystyle \oplus }$  表示直和， ${\displaystyle \perp }$  表示正交补，${\displaystyle \ker }$  表示映射的核， ${\displaystyle \operatorname {ran} }$  表示映射的像。注意 ${\displaystyle \mathbb {k} ^{n}=\left(\ker A\right)^{\perp }\oplus \ker A}$  和 ${\displaystyle \mathbb {k} ^{m}=\operatorname {ran} A\oplus \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }}$ 。 限制条件 ${\displaystyle A:\left(\ker A\right)^{\perp }\to \operatorname {ran} A}$  则是一个同构。这意味着 ${\displaystyle A^{\dagger }}$  在 ${\displaystyle \operatorname {ran} A}$  上时这个同构的逆，在 ${\displaystyle \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }}$  上则是零。

换而言之，对于给定的 ${\displaystyle b\in \mathbb {k} ^{m}}$  要找到 ${\displaystyle A^{\dagger }b}$ ，首先将 ${\displaystyle b}$  正交投影在 ${\displaystyle A}$  的值域中，找到点 ${\displaystyle p(b)}$ ，然后构建 ${\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})}$ ，即就是在 ${\displaystyle \mathbb {k} ^{n}}$  中，会被 ${\displaystyle A}$  投影到 ${\displaystyle p(b)}$  的点。这是 ${\displaystyle \mathbb {k} ^{n}}$  的一个平行于 ${\displaystyle A}$  的核的仿射子空间。这个子空间中长度最小的元素（也就是最靠近原点的元素），就是我们寻找的 ${\displaystyle A^{+}b}$  的解。它可以通过从 ${\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})}$  中选择任意元素，并将其投影在 ${\displaystyle A}$  的核的正交补空间而得到。

以上描述与线性系统的最小范数解密切相关。

子空间

极限

伪逆可以由极限定义：

连续性

与一般的矩阵求逆不同，求伪逆的过程并不连续：如果序列 ${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$  收敛到矩阵 ${\displaystyle A}$  （在最大范数或弗罗贝尼乌斯范数意义下），则 ${\displaystyle (A_{n})^{\dagger }}$  不一定收敛于 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ . 然而，如果所有的矩阵 ${\displaystyle A_{n}}$  与 ${\displaystyle A}$  有相同的秩，则 ${\displaystyle (A_{n})^{\dagger }}$  将收敛于 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ .^[8]

导数关系

实值伪逆矩阵的导数，该矩阵在某点${\displaystyle x}$ 处具有恒定的秩 可以用原矩阵的导数来计算：^[9]

对于可逆矩阵，其广义逆为其一般的逆矩阵，所以以下仅举一些不可逆矩阵的例子。

• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ ，其广义逆矩阵为${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ （通常零矩阵的广义逆矩阵为其转置）。该广义逆矩阵的唯一性可以认为时由性质${\displaystyle A^{\dagger }=A^{\dagger }AA^{\dagger }}$ 得出的，因为与零矩阵相乘总会得到零矩阵。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}$ ，其广义逆矩阵为 ${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}}$ 。
  • 事实上，${\displaystyle A\,A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$ ，所以 ${\displaystyle A\,A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A}$ 。
  • 类似的， ${\displaystyle A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ ，由此 ${\displaystyle A^{\dagger }A\,A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{\dagger }}$ 。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}}$ ，其广义逆矩阵为${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}}$ 。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}}$ ，其广义逆矩阵为${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}}$ 。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$ ，其广义逆矩阵为${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}}$ 。
• 对于${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}}}$ ，其广义逆矩阵为 ${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$  。对于该矩阵，其左逆存在且等于${\displaystyle A^{\dagger }}$ ，事实上，${\displaystyle A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ 。

书籍

• 张贤达. 矩阵分析与应用. 北京: 清华大学出版社. 2004年9月: 85–99. ISBN 7-302-09271-0 （中文）. 

文献