依赖选择公理
在数学上,依赖选择公理(,英语:Axiom of dependent choice)是选择公理()较弱的版本,但依赖选择公理依旧足以发展实分析绝大多数的内容。依赖选择公理最早由保罗·伯奈斯于1942年一篇讨论哪些集合论公理对发展数学分析是必要的文章中引入。[a]
正式描述
若一个 上的齐次关系 被称作全关系,则对于所有的 而言,皆存在有一个 ,使得 成立。
依赖选择公理的表述如下: 对于任意非空集合 及任意 上的全关系 而言,皆存在有一个 上的序列 ,使得以下陈述成立:
- 对于任意的 而言,
若限制上述的 为所有实数的集合,那相关公理可表记为
应用
即使在没有这条公理的状况下,对于任意的 ,依旧可用一般的数学归纳法造出如此序列的最前面 项;而依赖选择公理说的是我们可用此种方式造出整个(可数无限的)序列。
这条公理是 的片断,而在“必须于每一步都做出选择”且“一些选择无法在不仰赖先前选择的情形下独立做出”的状况下证明“存在有可以可数长度的超限递归建构的序”列时,这条公理是必须的。
等价陈述
在策梅洛-弗兰克尔集合论 的框架下, 等同于完备度量空间上的贝尔纲定理。[1]
在 的框架下,这公理也等价于勒文海姆–斯科伦定理。[b][2]
在 的框架下也与“所有有 层且剪枝过的树都有分支”这陈述等价。
不仅如此, 也与弱化版的佐恩引里等价;特别地, 与“任何使得所有良序链都有限且有界的偏序,都必然有极大元素”这叙述等价。[3]
所有有ω层且剪枝过的树都有分支的证明 |
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设 是 上的完整二元关系(entire binary relation),那么此处的策略是定义一棵 上有限序列的树 ,而这棵树的邻近元素满足 这关系。在这种状况下, 的其中一个分支是邻近元素满足 这关系的无限序列。我们先从定义“若对于 而言, ,则 ”开始,由于 是完整二元关系之故,因此 是一棵具有 层且剪枝过的树,因此 有 这分支,因此对于所有的 而言, ,而这蕴含了 ,因此 为真。
设 是一棵位于 上具有 层的剪枝过的树,那么此处的策略是定义 上的二元关系 ,而这关系使得 导出 这样的序列,而在这序列中, 且 是一个严格递增函数;而在这种状况下,无穷序列 是一个分支。(要证明这点,只需要对 进行证明)我们先定义“若 是 的始序列(initial subsequence),且 且 ,则 ”开始,由于 是一棵具有 层的剪枝过的树枝故,所以 是个完整关系;因此 蕴含说存在有无限序列 使得 ,因此对于一些 而言, 。设 的最终元素,那么 。对于所有的 而言 这序列属于 。由于这是 的的始序列,或者是一个 之故,因此 是一个分支。 |
与其他公理的关系
和完整版的 不同的是, 在 的框架下,不足以证明说有些实数集是不可测集,也不足以证明有些实数集合不具有贝尔性质或完美集性质;而由于梭罗维模型满足 ,且在此模型中所有的实数集合都是勒贝格可测集、都具有贝尔性质和完美集性质之故,因此这说法成立。
注解
- ^ "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. (原始内容存档 (PDF)于2022-07-23). The axiom of dependent choice is stated on p. 86.
- ^ Moore states that "Principle of Dependent Choices Löwenheim–Skolem theorem" — that is, implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. 1982: 325. ISBN 0-387-90670-3.
参考资料
- ^ “贝尔纲定理蕴含依赖选择公理”─Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1977, 25 (10): 933–934.
- ^ The converse is proved in Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. Computability and Logic 3rd. Cambridge University Press. 1989: 155–156. ISBN 0-521-38026-X.
- ^ Wolk, Elliot S., On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma 26 (3), Canadian Mathematical Bulletin: 365–367, 1983 [2022-07-23], doi:10.4153/CMB-1983-062-5 , (原始内容存档于2022-07-23)
- ^ 伯奈斯证明说依赖选择公理蕴含可数选择公理,相关资料可见于Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. (原始内容存档 (PDF)于2022-07-23).的第86页
- ^ 对于可数选择公理不蕴含依赖选择公理这点,可见Jech, Thomas, The Axiom of Choice, North Holland: 130–131, 1973, ISBN 978-0-486-46624-8
- Jech, Thomas. Set Theory Third Millennium. Springer-Verlag. 2003. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.