决定公理

决定公理所谈论的游戏具有特定的定义，而其定义如次：

考虑所有自然数的无限序列组成的贝尔空间（英语：Baire space (set theory)）${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ 的子集合${\displaystyle A}$ ，而其中两个玩家1p与2p轮流选取自然数

${\displaystyle n_{0},n_{1},n_{2},n_{3},...}$ 

在经过无限步后，可得一序列${\displaystyle (n_{i})_{i\in \omega }}$ ，其中玩家1p获胜当且仅当这序列是${\displaystyle A}$ 的元素。而决定公理讲的是任何这类的游戏都是决定的，也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。

不是所有的游戏的决定性，都需要动用决定公理来证明。在${\displaystyle A}$ 是一个闭开集的情况下，那这游戏基本是有限的，也因此是决定的；相似地，若${\displaystyle A}$ 是一个闭集，那这游戏是决定的。在1975年，唐纳德·A·马丁（英语：Donald A. Martin）证明说若一个游戏必胜策略是一个博雷尔集的话，那这游戏是决定的；此外，在有足够大的基数存在的状况下，所有必胜策略是射影集（英语：projective set）的游戏都是决定的，而决定公理在​​L(R)（英语：​​L(R)）中成立。

另外，决定公理蕴含说对于任何实数线的子空间${\displaystyle X}$ 而言，巴拿赫－马祖尔游戏（英语：Banach–Mazur game）${\displaystyle BM(X)}$ 是决定的（也因此所有的实数集合都具有贝尔性质）。

在假定选择公理成立的状况下，我们可以构造决定公理的一个反例。集合${\displaystyle S_{1}}$ 是${\displaystyle \omega }$ －游戏${\displaystyle G}$ 中玩家一的所有策略，其大小与连续统相同；而类似地，${\displaystyle S_{2}}$ 是同样游戏中玩家二的所有策略。设${\displaystyle SG}$ 为${\displaystyle G}$ 中所有可能序列的集合，并假定${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle SG}$ 中使玩家一获胜的子序列，那么利用选择公理我们可以为连续统构造一个良序，且我们可以构造出一个任何真初始部分都小于连续统的排序，而我们可利用这样的良序集${\displaystyle J}$ 来给${\displaystyle S_{1}}$ 跟${\displaystyle S_{2}}$ 上指标，并借此将${\displaystyle A}$ 给构造成决定公理的一个反例。

我们从空集合${\displaystyle A}$ 与${\displaystyle B}$ 开始。设${\displaystyle \alpha \in J}$ 是集合${\displaystyle S_{1}}$ 跟${\displaystyle S_{2}}$ 的指标，我们考虑玩家一的所有策略${\displaystyle S_{1}={s1(\alpha )}}$ 及玩家二的所有策略${\displaystyle S_{2}={s2(\alpha )}}$ 以确保对于任何策略，都会有另一个玩家的策略能将之胜过。对于任何玩家考虑的策略，我们都可生成一个序列，使得另一个玩家获胜。设${\displaystyle t}$ 是时间轴，其长度为${\displaystyle \aleph _{0}}$ 且这时间轴用于所有的游戏序列中，我们可以利用${\displaystyle A}$ 上对${\displaystyle \alpha }$ 的超限递归来生成反例：

1. 首先，考虑玩家一的策略${\displaystyle s1(\alpha )}$ 。
2. 将这策略套用于${\displaystyle \omega }$ －游戏上，（连同玩家一的策略${\displaystyle s1(\alpha )}$ 一起）可生成${\displaystyle \{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}}$ 这序列，而这序列不属于${\displaystyle A}$ ，这是可能的，而这可能性是因为${\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}}$ 这些选项的数量与连续统相同，而这数量比${\displaystyle J}$ 的真初始部分${\displaystyle \{\beta \in J|\beta <J\}}$ 还要大所致。
3. 现在（若这序列还不在${\displaystyle B}$ 之内的话）将这序列加入${\displaystyle B}$ 之中以表示${\displaystyle s1(\alpha )}$ 失败。（输给${\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}}$ ）
4. 现在，考虑玩家二的策略${\displaystyle s2(\alpha )}$ 。
5. 将这策略套用于${\displaystyle \omega }$ －游戏上，（连同玩家二的策略${\displaystyle s2(\alpha )}$ 一起）可生成${\displaystyle \{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}}$ 这序列，而这序列不属于${\displaystyle B}$ ，这是可能的，而这可能性是因为${\displaystyle \{a(1),a(3),a(5)...\}}$ 这些选项的数量与连续统相同，而这数量比${\displaystyle J}$ 的真初始部分${\displaystyle \{\beta \in J|\beta <J\}}$ 还要大所致。
6. 现在（若这序列还不在${\displaystyle A}$ 之内的话）将这序列加入${\displaystyle A}$ 之中以表示${\displaystyle s2(\alpha )}$ 失败。（输给${\displaystyle \{a(1),a(3),a(5)...\}}$ ）
7. 利用对${\displaystyle \alpha }$ 的超限归纳法，对${\displaystyle S_{1}}$ 跟${\displaystyle S_{2}}$ 的所有可能策略如是操作，对于所有在这之后不在${\displaystyle A}$ 或${\displaystyle B}$ 中的策略，将之任意分派给${\displaystyle A}$ 或${\displaystyle B}$ ，使得${\displaystyle B}$ 为${\displaystyle A}$ 的补集。

当这一切完成后，准备${\displaystyle \omega }$ －游戏${\displaystyle G}$ ，而在这游戏中，对于任何玩家一的策略${\displaystyle s1}$ ，存在一个${\displaystyle \alpha \in J}$ 使得${\displaystyle s1=s1(\alpha )}$ ，而${\displaystyle A}$ 的构造方式保证${\displaystyle s1(\alpha )}$ 失败（输给${\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}}$ ），因此${\displaystyle s1}$ 失败；类似地，任何玩家的任何其他策略都会失败，因此决定公理与选择公理不相容。

在二十世纪晚期，人们提出多种不同的无穷逻辑（英语：Infinitary logic），其中一个认为决定公理为真的理由是因为这公理可（在某种无穷逻辑当中）写成以下形式：

${\displaystyle \forall G\subseteq Seq(S):}$ 

${\displaystyle \forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G}$  OR

${\displaystyle \exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G}$ 

注：${\displaystyle Seq(S)}$ 是${\displaystyle S}$ 的所有${\displaystyle \omega }$ －序列。此处的句子长度无限，且在省略号出现处，有可数无穷多的量化词序列。

决定公理的相容性，与大基数相关公理的相容性息息相关。根据​乌丁（英语：W. Hugh Woodin）的一个定理，不带有选择公理而带有决定公理的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性，等价于带有选择公理并带有​乌丁基数（英语：Woodin cardinal）的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性。由于​乌丁基数是强不可达基数之故，因此若决定公理是相容的，那不可达基数的无限性也是相容的。

此外，若假设有无穷多个乌丁基数，且其上还存在一个可测基数，大于该些乌丁基数，则可得到一个非常强的、关于勒贝格可测的实数集合的理论，而这是因为可以证明决定公理在​​L(R)（英语：​​L(R)）中成立，因此所有在​​L(R)（英语：​​L(R)）中的实数集合都是决定的之故。

• ​实决定公理（英语：Axiom of real determinacy） (AD_R)
• ​博雷尔决定性定理（英语：Borel determinacy theorem）
• ​马丁测度（英语：Martin measure）
• ​拓朴游戏（英语：Topological game）

• Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 1962, 10: 1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430. 
• Mycielski, Jan; Świerczkowski, Stanisław. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fund. Math. 1964, 54: 67–71. doi:10.4064/fm-54-1-67-71  . 
• Woodin, W. Hugh. Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1988, 85 (18): 6587–6591. PMC 282022  . PMID 16593979. doi:10.1073/pnas.85.18.6587  . 
• Martin, Donald A.; Steel, John R. A Proof of Projective Determinacy. Journal of the American Mathematical Society. Jan 1989, 2 (1): 71–125. JSTOR 1990913. doi:10.2307/1990913  . 
• Jech, Thomas. Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 978-3-540-44085-7. 
• Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite 2nd. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-3-540-88866-6. 
• Moschovakis, Yiannis N. Descriptive set theory (PDF) 2nd. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2009. ISBN 978-0-8218-4813-5. （原始内容 (PDF)存档于2014-11-12）.  无效|url-status=bot: unknown (帮助)

• Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy, Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001
• Telgársky, R.J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276. (3.19 MB)
• "Large Cardinals and Determinacy" （页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Stanford Encyclopedia of Philosophy