零测集

在数学分析中，零测集（英语：Null set）是一个测度为0的可测集，它可以被可数个测度为任意小的开区间的并集覆盖的集合。

\mathbb {R} ^{2}

中的点构成的的零测集

零测集的概念不应与集合论中定义的空集混淆。空集的勒贝格测度为0，但也存在非空集的测度为0。例如，任何非空的可数实数集的勒贝格测度为零，因此它为零测集。

更一般的，给定测度空间 $M=\left(X,\Sigma ,\mu \right)$ ，零测集 $S\in \Sigma$ 满足 $\mu (S)=0$ 。

例子

实数的有限或可数无限子集都是零测集。例如自然数集合和有理数集合都是实数集的可数无限子集，因此它们是零测集。

康托尔集是一个不可数的零测集。

定义

设 $A$ 是实数集 $\mathbb {R}$ 的子集，满足

$\forall \varepsilon >0,\ \exists \left\{U_{n}\right\}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ \land \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n}\right|<\varepsilon \,,$

其中 $U_{n}$ 表示区间， $|U|$ 是区间 $U$ 的长度，则 $A$ 是零测集。^[1]

在数学分析的术语中，这个定义要求存在 $A$ 的开覆盖序列，该序列覆盖长度的极限收敛到0。

性质

空集总是零测集。
可数个零测集的并集是零测集。
零测集的任何一个可测子集是零测集。

应用

零测集在勒贝格积分的定义中起到了关键作用。如果函数f和函数g除一个零测集以外处处相等，则f可积当且仅当g可积，并且二者的积分相等。这使Lp空间定义为除零测集外均为同一类函数的集合。

参考文献

^ Franks, John. A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration. The Student Mathematical Library 48. American Mathematical Society. 2009: 28. ISBN 978-0-8218-4862-3. doi:10.1090/stml/048.

[1] Franks, John. A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration. The Student Mathematical Library 48. American Mathematical Society. 2009: 28. ISBN 978-0-8218-4862-3. doi:10.1090/stml/048.

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