实数的构造

一个实数系统由一个集合${\displaystyle R}$ ，${\displaystyle R}$ 当中的两个不同元素 0 和 1 ，${\displaystyle R}$ 上的两种二元运算 ${\displaystyle +,\times }$  （分别叫做加法与乘法），以及${\displaystyle R}$ 上的一个二元关系${\displaystyle \leq }$ （即序关系）构成。 而且这个模型符合以下性质：

1. ${\displaystyle (R,+,\times )}$  是一个域。即
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in R,x+(y+z)=(x+y)+z,x\times (y\times z)=(x\times y)\times z}$ （加法与乘法的结合性）
   • ${\displaystyle \forall x,y\in R,x+y=y+x,x\times y=y\times x}$ （加法与乘法的交换性）
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in R,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}$ （乘法对加法有分配律）
   • ${\displaystyle \forall x\in R,x+0=x}$ （存在加法单位元）
   • ${\displaystyle \forall x\in R,x\times 1=x}$ （存在乘法单位元）
   • ${\displaystyle \forall x\in R,\exists -x\in R,x+(-x)=0}$ （存在加法逆元）
   • ${\displaystyle \forall x\in R,x\neq 0\Rightarrow \exists x^{-1}\in R,x\times x^{-1}=1}$ （存在乘法逆元）
2. ${\displaystyle (R,\leq )}$  是一个全序集。即
   • ${\displaystyle \forall x\in R,x\leq x}$ (自反性)
   • ${\displaystyle \forall x,y\in R,}$ 若 ${\displaystyle x\leq y}$  且 ${\displaystyle y\leq x}$ ，则有${\displaystyle x=y}$ （反对称性）
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in R,}$ 若 ${\displaystyle x\leq y}$ 且,${\displaystyle y\leq z}$ ，则有${\displaystyle x\leq z}$ （传递性）
   • ${\displaystyle \forall x,y\in R,x\leq y}$  或${\displaystyle y\leq x}$ （完全关系性）
3. ${\displaystyle R}$ 上的两个运算${\displaystyle +,\times }$  均与序关系${\displaystyle \leq }$ 相容。即
   • ${\displaystyle \forall x,y\in R}$ ,若${\displaystyle x\leq y,}$ 则${\displaystyle x+z\leq y+z}$ （加法下保持次序）
   • ${\displaystyle \forall x,y\in R}$ ,若 ${\displaystyle 0\leq x}$  且${\displaystyle 0\leq y}$ ，则${\displaystyle 0\leq x\times y}$ （乘法下保持次序）
4. 序关系${\displaystyle \leq }$ 符合戴德金完备性: 若${\displaystyle R}$ 的一个非空子集${\displaystyle A}$ 有上界，那么${\displaystyle A}$ 也有上确界。换言之，
   • 若 ${\displaystyle A}$  是 ${\displaystyle R}$ 的一个非空子集，而且${\displaystyle A}$ 有上界，那么${\displaystyle A}$ 有一上确界${\displaystyle u}$ ，使得对${\displaystyle A}$ 的任何上界${\displaystyle v}$ ，均有 ${\displaystyle u\leq v.}$ 

有理数域 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 符合前三条公理，也就是说${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 是一个有序域（同时${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 还满足阿基米德性，所以${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 是一个阿基米德有序域），但${\displaystyle \mathbf {Q} }$  不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含了阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话，它们必然是同构的，所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。

附注：当我们说符合以上公理的两个模型： ${\displaystyle (R,0_{R},1_{R},+_{R},\times _{R},\leq _{R})}$  和 ${\displaystyle (S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S})}$ 是同构时，即是指存在一个保持运算和序的双射。 确切地说存在${\displaystyle f:R\rightarrow S}$ 满足

• ${\displaystyle f}$ 是一个双射
• ${\displaystyle f(0_{R})=0_{S}}$  及 ${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$ .
• ${\displaystyle \forall x,y\in R,f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)}$  及 ${\displaystyle f(x\times _{R}y)=f(x)\times _{S}f(y).}$ 
• ${\displaystyle \forall x,y\in R,x\leq _{R}y}$  当且仅当 ${\displaystyle f(x)\leq _{S}f(y).}$ 

塔斯基实数公理

另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作${\displaystyle \mathbb {R} }$ ）、一个称之为序的二元关系（记作${\displaystyle <}$ ）、一个称之为加法的二元运算（记作${\displaystyle +}$ ）和常数${\displaystyle 1}$ 。

序相关公理 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$ ：

• 公理一：如果${\displaystyle x<y}$ 成立，那么${\displaystyle y<x}$ 不成立，即“${\displaystyle <}$ ”为非对称关系。
• 公理二：如果${\displaystyle x<z}$ 成立，那么存在${\displaystyle y}$ 使得${\displaystyle x<y}$ 与${\displaystyle y<z}$ 同时成立，即“${\displaystyle <}$ ”在实数集稠密。
• 公理三：“${\displaystyle <}$ ”满足戴德金完备性，即对所有${\displaystyle X,Y\subset \mathbb {R} }$ ，如果对所有${\displaystyle x\in X}$ 以及${\displaystyle y\in Y}$ 均满足${\displaystyle x<y}$ ，那么存在${\displaystyle z}$ 使得对所有${\displaystyle x\in X}$ 以及${\displaystyle y\in Y}$ 并且有${\displaystyle z\neq x}$ 以及${\displaystyle z\neq y}$ ，总有${\displaystyle x<z}$ 与${\displaystyle z<y}$ 成立。

加法相关公理 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<,+)}$ ：

• 公理四：${\displaystyle x+(y+z)=(x+z)+y}$ 。
• 公理五：对所有${\displaystyle x}$ 与${\displaystyle y}$ ，总存在${\displaystyle z}$ 满足${\displaystyle x+z=y}$ 。
• 公理六：如果${\displaystyle x+y<z+w}$ 成立，那么${\displaystyle x<z}$ 或${\displaystyle y<w}$ 成立。

常数${\displaystyle 1}$ 相关公理 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<,+,1)}$ 

• 公理七：${\displaystyle 1\in \mathbb {R} }$ ；
• 公理八：${\displaystyle 1<1+1}$ 。

柯西序列

首先我们需要一个定义。设${\displaystyle (x_{n})}$ 是一个有理数列，如果对于任何正有理数${\displaystyle r>0}$ ，存在一个正整数${\displaystyle N}$ 使得对于所有的整数${\displaystyle m,n>N}$ ，都有${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<r}$ ，则称${\displaystyle (x_{n})}$ 为有理数的柯西序列。

有理数集${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 配备上度量${\displaystyle |x-y|}$ （即一般的绝对值）后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程，可以往度量空间加进新点，从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。

以下说明实数集${\displaystyle \mathbf {R} }$ 可定义为${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 对于度量${\displaystyle |x-y|}$ 的完备化。（关于${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 在其他度量下的完备化，参见p进数。）

记${\displaystyle R}$ 为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为：

${\displaystyle (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})}$ 

${\displaystyle (x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n}).}$ 

运算得到的序列依然会是柯西序列^[1]。

称两个柯西序列是等价的，如果它们之间的差收敛到0。这样便在${\displaystyle R}$ 上定义了一个等价关系。以${\displaystyle [(x_{n})]}$ 表示包含序列${\displaystyle (x_{n})}$ 的等价类。

设${\displaystyle \mathbf {R} }$ 为包含所有等价类的集合，然后也在${\displaystyle \mathbf {R} }$ 上定义加法和乘法：

${\displaystyle [(x_{n})]+[(y_{n})]=[(x_{n})+(y_{n})]}$ 

${\displaystyle [(x_{n})]\times [(y_{n})]=[(x_{n})\times (y_{n})]}$ 

同样地，这两个运算是良好定义的。

可以证明${\displaystyle (\mathbf {R} ,+,\times )}$ 是一个域。我们可以把${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 嵌入到${\displaystyle \mathbf {R} }$ ——只要把有理数${\displaystyle r}$ 对应于${\displaystyle (r)}$ 便可。

实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的： 称一个实数是正的，即${\displaystyle [(x_{n})]>[(0)]}$ ，当且仅当存在自然数${\displaystyle N}$ 和正有理数${\displaystyle r}$ ，使得对一切${\displaystyle n>N}$ 有 ${\displaystyle x_{n}>r}$ 。称${\displaystyle [(x_{n})]>[(y_{n})],}$ 当且仅当${\displaystyle [(x_{n})]-[(y_{n})]>[(0)]}$ 。

较难推导的是${\displaystyle \leq }$ 的完备性，具体可以参考^[1]。

常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列，比如说， ${\displaystyle \pi =3.1415926...}$ 的记法意味着 ${\displaystyle \pi }$  是柯西序列 ${\displaystyle (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)}$ 的等价类。等式${\displaystyle [(0.999...)]=[(1)]}$ 则断定了序列${\displaystyle (0,0.9,0.99,0.999,...)}$  和${\displaystyle (1,1,1,1,...)}$ 是等价的，即它们之间的差收敛到${\displaystyle 0}$ 。

把${\displaystyle \mathbf {R} }$ 作为${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 的完备化有一个好处，那就是这种方法并不限于此例；对于其他度量空间也是适用的。

戴德金分割

实数可定义为有理数集上的戴德金分割，即是有理数集的一个划分${\displaystyle (A,B)\,}$ ，其中${\displaystyle A,B}$ 都非空，而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见，不妨把划分${\displaystyle (A,B)\,}$ 以其下组 ${\displaystyle A}$ 来代表，因为给定了 ${\displaystyle A}$  就唯一确定了 ${\displaystyle B}$ 。所以直观上，实数${\displaystyle r}$ 能被${\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<r\}}$ 所代表。

具体而言，一个实数${\displaystyle r}$ 是${\displaystyle {\textbf {Q}}}$  的符合以下条件的一个子集：^[2]

1. ${\displaystyle r}$  是非空集合
2. ${\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}$ 
3. ${\displaystyle r}$  是向下封闭的，即：${\displaystyle \forall x,y\in {\textbf {Q}}x<y,y\in r\rightarrow x\in r}$ 
4. ${\displaystyle r}$  没有最大元。也就是说，不存在${\displaystyle x\in r}$ ，使得对任何${\displaystyle y\in r}$ 有${\displaystyle y\leq x}$ 

• 记${\displaystyle {\textbf {R}}}$  为所有实数的集合，也就是说它包含了所有${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ 上的戴德金分割。然后在${\displaystyle {\textbf {R}}}$ 上定义这样一个全序：${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$ 

• 有理数可以嵌入到${\displaystyle {\textbf {R}}}$ 里，透过把${\displaystyle q}$  对应于集合${\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}}$ 。^[2] 因为有理数在有理数集内是稠密的，所以这个集合没有最大元，并满足上述的各条件。

• 加法：${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}$ ^[2]

• 减法：${\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$  ，其中${\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}$  代表${\displaystyle B}$ 在${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ 里的补集，即${\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}$ 

• 负号是减法的特例： ${\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$ 

• 乘法的定义较不直观：^[2]
  • 若${\displaystyle A,B\geq 0}$  ，那么${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$ 
  • 若${\displaystyle A\,}$  和 ${\displaystyle B\,}$  中有一个是负的，可以透过${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}$ 这定义式，把${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ 转化为正数的情况，再采用上面的定义来计算。

• 类似地定义除法为：
  • 若${\displaystyle A\geq 0,\ B>0}$ ，则${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$ 
  • 若${\displaystyle A\,}$  和 ${\displaystyle B\,}$  中有一个是负的，可以借助 ${\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}$  的定义式，把 ${\displaystyle A}$ 换成非负数，以及把${\displaystyle B\,}$ 换成正数，再采用上面的定义来计算。

• 上确界：如果${\displaystyle {\textbf {R}}}$ 的非空子集${\displaystyle S}$  有上界的话，那么可以证明${\displaystyle \bigcup S}$ 便是其上确界。^[2]

以下示范如何以戴德金分割代表根号2：设${\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x^{2}<2\}}$ 。^[3]

首先，对于任何自乘小于2的正有理数 ${\displaystyle x\,}$ ，都存在一个大于x的有理数${\displaystyle y\,}$  ，而且有${\displaystyle y\times y<2\,}$  。选择${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,}$  便可。所以我们证明了${\displaystyle A}$  是一个实数。 要证明${\displaystyle A\times A\leq 2}$ 成立，只需指出如果${\displaystyle r\,}$ 是小于2的有理数，那么存在正的 ${\displaystyle x\in A}$  ，且 ${\displaystyle r<x\times x\,}$ 。

这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。

小数记法

西蒙·斯蒂文^[4] 首先提出了以小数来代表一切数（即现今的实数）的想法。具体地，可以将无限小数展开式作为实数的定义，然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的，再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的，而且它还给出了明确的收敛模（英语：Modulus of convergence）。这种方法不限于十进制，其他的进位制也是适用的。

用小数来构造的好处是，这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是，说明任意模型都同构于这个模型，因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。

超实数

首先，透过超滤子从有理数构造出超有理数域^*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由^*Q里所有有界（或者说有限）元素所组成的环B。 B 有着唯一的极大理想 I，即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域 ${\displaystyle R}$ 。 注意B 并不是^*Q的一个内在集合。 此外，这种构造在自然数集上使用了非主超滤子，而其存在性是依赖于选择公理的。

这个极大理想 I保持了^*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。

超现实数

每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域（意味着没有实数是无穷大量）。这种嵌入方式并不是唯一的，尽管有标准的一种方式。

透过整数集（欧多克索斯实数）

一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。^[5][6][7] 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。^[8] Shenitzer^[9]和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。

设${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ 为一函数，若然${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$ 是有限集，则称f为殆同态。称两个殆同态${\displaystyle f,g}$  是 几乎相等的，如果集合${\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}$ 是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类，可简单记为[f]。实数的加法，对应于殆同态的加法运算；实数的乘法，则对应于殆同态的复合运算。最后，称${\displaystyle 0\leq [f]}$ ，若${\displaystyle f}$  是有界的，或者${\displaystyle f}$  在${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。

• 数学结构主义#实分析中的例子