非对称关系
在数学中,非对称关系(英语:Asymmetric relation)是二元关系的一种。若集合 上的二元关系 为非对称关系,则对于所有 ,。换句话说,如果 至 存在关系,则 至 不存在关系[1]。
正式定义
一个定义于 上的二元关系 是 的任何子集。给定 ,我们将 简写为 ,读作“ 至 存在关系 ( is related to by )”。
如果对于所有 ,若 ,则 (也就是 ),则我们称 是非对称的。以一阶逻辑的形式可以写成:
一个逻辑等价的定义如下:对于所有 , 与 中至少有一为假。以一阶逻辑的形式可以写成:
非对称关系的一个例子是定义于实数上的“小于关系”,亦即 。由于当 小于 时, 一定不小于 ,因此 是非对称的。另一方面,“小于等于关系”则不是非对称的,因为当 时, 和 会同时成立,不符合非对称关系的定义。
非对称关系不代表对称关系的相反,上述的“小于等于关系”既不是非对称关系,也不是对称关系;而“空关系( )”是唯一同时是非对称关系,也是对称关系的关系。
非对称关系(Asymmetric)与反对称关系(Antisymmetric)的差异在于:反对称关系容许自反性, 可以属于 ,而非对称关系不允许。如上述的“小于等于关系”即是反对称关系的一例。
特性
参见
参考资料
- ^ Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273, 1993.
- ^ Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158, 2002.
- ^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20]. (原始内容 (PDF)存档于2013-11-02). Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".