上界和下界设 ( A , ≤ ) {\displaystyle (A,\leq )} 为一个偏序集,若存在 y ∈ A {\displaystyle y\in A} ,能满足 ∀ x ∈ B ⊆ A {\displaystyle \forall x\in B\subseteq A} 都有 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} ,则 y {\displaystyle y} 称作集合 B {\displaystyle B} 的上界,若存在 z ∈ A {\displaystyle z\in A} ,能满足 ∀ x ∈ B ⊆ A {\displaystyle \forall x\in B\subseteq A} 都有 x ≥ z {\displaystyle x\geq z} ,则 z {\displaystyle z} 称作 B {\displaystyle B} 的下界。 例如在实变数中,若存在一个实数 b {\displaystyle b} ,能满足 ∀ x ∈ S ⊆ R {\displaystyle \forall x\in S\subseteq R} 都有 x ≤ b {\displaystyle x\leq b} ,则 b {\displaystyle b} 即为集合 S {\displaystyle S} 的上界,若存在一个实数 c {\displaystyle c} ,能满足 ∀ x ∈ S ⊆ R {\displaystyle \forall x\in S\subseteq R} 都有 x ≥ c {\displaystyle x\geq c} ,则 c {\displaystyle c} 即为集合 S {\displaystyle S} 的下界。 性质 连续性公理:在非空实数集中,若含上界,则必含最小上界(上确界);若含下界,则必存在最大下界(下确界)。[1] 参见 偏序关系 最小上界 最大下界^ 确界存在定理-学术百科-知网空间. wiki.cnki.com.cn. 知网空间. [2017-06-08]. (原始内容存档于2020-10-28).