最大下界

在数学分析中，实数的子集 S 的下确界或最大下界记为 inf(S)，定义为小于等于在 S 中的所有数的最大实数。如果没有这样的数存在（因为 S 没有下界），则我们定义 inf(S) = −∞。如果 S 是空集，我们定义 inf(S) = ∞（参见扩展的实数轴）。

实数的一个重要性质是，任何实数集都有下确界（实数的任何有界非空子集都在非扩展的实数轴中有下确界）。

例子：

${\displaystyle \inf\{1,2,3\}=1.}$ 

${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$ 

${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :x^{3}>2\}=2^{1/3}.}$ 

${\displaystyle \inf\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.}$ 

如果一个集合有最小元素，如同第一个例子，则这个最小元素就是这个集合的下确界。如后三个例子展示的，一个集合的下确界不一定属于这个集合。

下确界的概念和上确界在下列意义下是对偶的

${\displaystyle \inf(S)=-\sup(-S)}$ ，

这里 ${\displaystyle -S=\{-s|s\in S\}}$ 。

一般的说，为了证明 inf(S) ≥ A，只需要证明对于所有 S 中的 x 有 x ≥ A。证明 inf(S) ≤ A ，则需：对于任何 ε > 0，都存在 S 中的一个元素 x 使得 x ≤ A + ε（当然，如果 S 有一个元素 x 使 x ≤ A，命题立即成立）。

参见：下极限。

下确界的定义容易推广到任何偏序集合的子集上，并在序理论中有重要意义。在序理论，特别是格理论中，最大下界也叫做交（英语：meet)。

形式的说，偏序集合（P，≤）的子集 S 的下确界是 P 的一个元素 l 使得

1. 对于所有 S 中的 x 有 l ≤ x，
2. 对于任何 P 中的 p，如果对于所有 S 中的 x 都有 p ≤ x, 则 p ≤ l。

如果这样的元素存在，则其必然唯一，但是它不一定存在。因此已知特定下确界存在的序就特别有价值。详情请参见完备性（英语：Completeness (order theory)）。

• infimum （页面存档备份，存于互联网档案馆） (PlanetMath)

• 偏序集
• 下界
• 最大元
• 完全格
• 最小上界
• 本性下确界